Exercice III Les oscillations dans le haut-parleur

Nouvelle Calédonie Mars 2011 rattrapage bac 2010
http://labolycee.org
EXERCICE III. LES OSCILLATIONS DANS LE HAUT-PARLEUR (4 points)
CALCULATRICE INTERDITE
La partie mécanique d'un haut-
parleur électrodynamique est
constituée d'une membrane mobile,
solidaire d'un cylindre creux sur
lequel est enroulé le fil d'une
bobine en cuivre. L'ensemble, appelé
équipage mobile, possède une masse
totale
m et est astreint à se déplacer
selon l'axe x'x. La suspension est
modélisée par un ressort de
constante de raideur k, de longueur
à vide [pic] pouvant travailler en
extension comme en compression.
Figure 1. Schématisation simplifiée
d'un haut-parleur électrodynamique L'objectif de cet exercice est d'étudier les oscillations de l'équipage
mobile d'un haut-parleur appelé
« woofer » spécialisé dans la reproduction des sons graves afin de
déterminer quelques unes de ses caractéristiques. 1. Étude théorique du mouvement de l'équipage mobile en l'absence de
frottement L'équipage mobile modélisé sur la figure 2 est constitué par un solide S,
de masse m, de centre d'inertie G, assujetti à se déplacer sans frottement
sur une tige horizontale. Ce solide est attaché à un ressort à spires
non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k.
La position du solide est repérée par l'abscisse x de son centre d'inertie
G sur l'axe (O, [pic]). La position du point G à l'équilibre correspond à
l'origine O des abscisses.
Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre, supposé galiléen. 1.1. Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur le solide S à la date
t. Représenter ces forces sur un schéma simplifié, sans souci d'échelle. 1.2. Écrire l'expression vectorielle de la force de rappel [pic] du ressort
en fonction de l'abscisse x. 1.3. En appliquant la deuxième loi de Newton au solide dans le référentiel
terrestre, vérifier que l'équation différentielle du mouvement relative à
l'abscisse x du centre de gravité G du solide à la date t peut se mettre
sous la forme :
[pic]
1.4. Une solution de l'équation différentielle précédente est de la forme :
x(t) = Xm cos [pic] où Xm est une constante.
Montrer que l'expression de la période propre T0 de l'équipage mobile est :
[pic].
1.5. Par une analyse dimensionnelle, vérifier l'homogénéité de l'expression
de la période propre T0 de cet oscillateur.
2. Étude expérimentale du mouvement de l'équipage mobile On se propose dans cette partie de déterminer expérimentalement la masse m
de l'équipage mobile et la constante de raideur k du ressort modélisant la
suspension du haut parleur.
Une interface d'acquisition préalablement paramétrée est reliée aux bornes
de la bobine du haut-parleur étudié. La membrane étant initialement au
repos, on frappe légèrement avec un doigt son dôme d'un coup unique et
rapide, puis on déclenche l'acquisition. Après traitement informatique des
données on obtient sur la figure 3 les variations au cours du temps de
l'abscisse x du centre d'inertie G de l'équipage mobile. Figure 3. Évolution temporelle de l'abscisse x du centre d'inertie G
2.1. Quelle est la nature des oscillations observées et quel est le nom du
régime qui leur est associé ? 2.2. Interpréter l'évolution temporelle de l'amplitude des oscillations. 2.3. Déterminer la valeur de la pseudo-période T des oscillations et en
déduire, dans l'hypothèse d'un amortissement faible, la valeur de la
fréquence propre f0 de l'équipage mobile.
2.4. Afin de déterminer la masse m de l'équipage mobile, on fixe au dôme de
la membrane une masse additionnelle m' = 10 g. La fréquence propre de
l'ensemble {équipage mobile + masse additionnelle} devient alors f '0 = 45
Hz.
2.4.1. Exprimer la fréquence propre f '0 en fonction de m, m' et k.
2.4.2. En comparant les expressions littérales des fréquences propres f0
et f '0, montrer que la masse de l'équipage mobile est : m = [pic] Cette expression permet de calculer la masse m. Dans la suite de
l'exercice, on prend m = 40 g. 2.5. Exprimer la constante de raideur k du ressort modélisant la suspension
du haut-parleur en fonction de la fréquence propre f0 de l'équipage mobile.
En déduire la valeur de k. Aide au calcul : (2 ( 10. 2.6. Après avoir déconnecté l'interface d'acquisition, on branche aux
bornes du haut-parleur un générateur basses fréquences (G.B.F.) qui impose
un signal sinusoïdal de fréquence f et d'amplitude non nulle constante. 2.6.1. À quel type d'oscillations est soumis l'équipage mobile du haut-
parleur ? Identifier dans le montage réalisé le résonateur et
l'excitateur.
2.6.2. En admettant que l'amortissement des oscillations est
suffisamment faible, qu'observe-t-on lorsque f est voisine de f0 ?
Quel est le nom de ce phénomène ?
----------------------- Figure 2. Modélisation de l'équipage mobile du haut-parleur à la date t G ressort
de constante de raideur k [pic] O x(t) x tige solide S