soustractif atmosphérique à la vitesse de tsiolkovski - Numericable

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SOUSTRACTIF ATMOSPHÉRIQUE À LA VITESSE DE TSIOLKOVSKI
Voir le tableau Excel :
C:\Mes documents\Mes Documents\STABILITE & PROP\BALISTIQUE\Perte de
VFinProp par Traînée Monoétage2.xls C'est en 1887 que Tsiolkovski publia, dans son ouvrage « ? »
la formule qui ouvrait la voie à la conquête de l'espace. Cette formule
donne la vitesse à attendre d'une fusée à l'issue de sa phase
propulsive :
Formule (1) (de Tsiolkovski)
VFinProp = Véject.Ln(Rapport de Masses) - g.T
Dans cette formule, Véject est la vitesse d'éjection, supposée
constante, de la masse d'appui éjectée par les moteurs [1] . g est la
gravité de la planète dont la fusée cherche à se soustraire et T est la
durée de la phase propulsive.
D'autre part, cette formule est établie en supposant nulle la
résistance de l'air.
Dans le texte ci-dessous, nous appellerons Vitesse de Tsiolkovski d'une
fusée sa vitesse de Fin de Propulsion tirée de cette formule VFinProp =
Véject.Ln(Rapport de Masses) - g.T.
De même, il nous arriva d'appeler Altitude de Tsiolkovski l'altitude de
Fin de Propulsion d'une fusée tirée de l'intégration de cette Vitesse de
Tsiolkovski, c-à-d sans tenir compte de la résistance de l'air. Le calcul
de cette Altitude de Tsiolkovski est effectué en fin de texte. ANALYSE DE LA FORMULE DE TSIOLKOVSKI En première analyse de cette formule, il peut apparaître que la
vitesse de fin de propulsion ne dépend pas du débit des moteurs mais
uniquement du Rapport de Masses et de la Vitesse d'Éjection. C'est à
dire, par exemple, qu'une fusée dont la base n'émettrait qu'un très
mince dard de gaz enflammés (à une grande vitesse d'éjection cependant)
pourrait acquérir une vitesse comparable à une fusée éjectant, comme on
le voit à Kourou ou à Cap Kennedy, des dizaines de tonnes des gaz
brûlés par secondes.
Ce n'est pourtant qu'une impression, car le temps de propulsion
lui-même est immédiatement lié au débit massique, par le quotient q =
Masse d'appui/Véject : Si ce débit est faible (pour une très faible
section de tuyère, à vitesse d'éjection donnée) le temps de propulsion
sera très important : la gravité agira donc sur la fusée un temps plus
long et la vitesse de fin de propulsion s'en trouvera diminuée en
proportion.
Par contre, en l'absence de gravité ou en impesanteur (cas des
vaisseaux spatiaux déjà satellisés) quand g se trouve annulé, le débit
massique devient effectivement un paramètre indifférent [2] . Cette
configuration est celle des vaisseaux accélérés par moteurs ioniques ou
à plasma, vaisseaux qui présentent des débits massiques ridiculement
faibles, et qui pourtant offrent de très forts gains en vitesse de fin
de propulsion et des rendement énergétiques sans comparaison. CAS DES FUSÉE TERRESTRES Revenons à la formule de Tsiolkovski appliquée à la propulsion
de fusée dans l'atmosphère de notre planète.
Nous avons déjà précisé qu'elle donne la Vitesse de Fin de
Propulsion (appelée par nous Vitesse de Tsiolkovski) en supposant nulle
la résistance de l'air, c-à-d le freinage subi par la fusée dans sa
traversée de l'atmosphère.
Cette approximation est parfaite lorsque l'engin spatial décolle
d'une planète dénuée d'atmosphère ou développe sa phase propulsive au-
dessus de l'atmosphère de cette planète.
Mais dans le cas d'une fusée décollant de la surface de notre
planète, elle conduit inévitablement à une erreur. Ce cas est
d'ailleurs celui qui nous intéresse le plus, puisque nous destinons ce
texte à l'usage des fuséistes amateurs.
Est-il possible d'estimer cette erreur et même de fixer une
limite à cette erreur ?
C'est ce que nous allons tenter.
Avant de nous lancer dans ce travail, il nous faut cependant
revenir sur un fait : La fameuse formule de Tsiolkovski ci-dessus est
souvent utilisée pour prédire la Vitesse à l'instant de la fin de
Propulsion.
Pourtant, à tout instant, en cas de panne du moteur, la vitesse
atteinte est calculable d'après la formule de Tsiolkovski, et donc le
rapport de masse atteint au moment de la panne. En effet, cette formule
de Tsiolkovski n'exige pas qu'on y spécifie si la fin de propulsion
s'est produite du fait que les réservoirs se sont trouvés à sec ou du
fait d'une panne [3] . La formule demande juste qu'on y précise le
Rapport des Masses de la fusée à l'instant de la fin de propulsion (que
celle-ci intervienne par défaut de carburant ou par panne d'une
quelconque turbo-pompe).
On comprend alors que le Rapport de Masses peut être un rapport
instantané [4] , atteint à un instant donné et donc que la démarche de
Tsiolkovski nous donne également accès à la vitesse atteinte à chaque
instant de la fusée...
Pour connaître cette vitesse instantanée de la fusée, on doit
juste présenter la formule comme suit :
Équation (2)
V(t) = Véject.Ln(R(t)) -g.t
équation (2) où :
( R(t)est le Rapport de Masses atteint à l'instant t,
soit le rapport M0/M(t)) , avec M0 la masse de la
fusée sur le Pas de Tir à l'instant t = 0 et M(t) la
masse instantané de la fusée.
( M(t) vaut évidemment M0 - qt , si q est le débit
massique.
Répétons encore que cette formulation donne une approximation
par excès de la vitesse de la fusée à chaque instant t (''par excès''
du fait qu'il n'a pas été tenu compte dans sa détermination de la
traînée atmosphérique qui a pourtant bien freiné la fusée depuis le
décollage jusqu'à l'instant t ).
Mais dès lors que nous disposons de cette vitesse instantanée
par excès, nous pouvons nous enticher d'en déduire la traînée
instantanée (qui sera alors déduite par excès également). Cette
approximation par excès de la traînée instantanée peut s'écrire :
F< ½ ? SCx V(t)².
Le bilan des forces instantanées sur la fusée en devient alors :
?F < -g M(t)+ P - ½ ? SCx V(t)²
où :
( M(t) est la masse instantanée de la fusée = M0 - qt
(q = débit massique supposé constant)
( et P est la Poussée de son moteur (supposée
également constante)
Et l'on sait depuis Newton que ?F = ?.M(t) formule
fondamentale de la dynamique ou ? est l'accélération instantanée et
M(t) la masse instantanée de la fusée à l'instant t.
Si l'on donne sa valeur surestimée à cette vitesse V(t) on
obtient :

?.M(t) < -g M(t) + P - ½ ? SCx {Véject Ln[R(t)] -g.t)}²

L'accélération ? est donc déductible de cette inégalité en
divisant tous les termes par M(t) .
Nous pouvons alors songer à intégrer cette accélération sur le
temps t (ce qui nous donnera la vitesse instantanée V(t)à chaque
instant) [5] :
V(t)=??.dt < ?-g dt + ? -?
Ce qui, en développant le carré de la dernière intégrale,
donne :
Équation (3)
V(t)=??.dt < ?-g dt + ? -?
l'ensemble des intégrations étant à effectuer de t =
0 à t = t .
Notons que tous les termes de ces intégrations peuvent être
exprimés par rapport au temps (en particulier M(t) et R(t)), ce qui est
la condition nécessaire à l'intégration.
Notons aussi que les deux premier termes sont ceux que
Tsiolkovski a intégrés pour découvrir sa célèbre formule : Leur
intégration ne présentera donc pas de difficultés.
Nous avons réalisé ''graphiquement'' [6] l'intégration de cette
équation (3).Voici, pour une fusée à eau de 1,5L et de 100g de masse à
vide [7] , le graphe montrant la valeur de cette vitesse instantanée
V(t) (en jaune). Cette courbe jaune (établie par une méthode
''graphique'') préfigure donc notre projet de correctif analytique. On
peut ici la comparer avec la vitesse instantanée de Tsiolkovski (en
violet) ainsi qu'avec la vitesse instantanée réelle de la fusée, celle
que nous cherchons au bout du compte, obtenue facilement par
l'intégration graphique de l'équation différentielle complète ( courbe
rouge) [8] .
Il est patent que, même en Fin de Propulsion, les courbes rouge
(vitesse réelle) et jaune (vitesse corrigée) sont très proches.
Le point isolé rouge cerclé de noir représente la vitesse de Fin
de Propulsion calculée d'après l'intégration du Vol de la Fusée. Cette
intégration est réalisée en considérant la masse de la fusée comme
constante durant la propulsion et égale à la somme de la Masse à Vide
et de la moitié de la Masse d'Appui. On voit que ce réflexe d'ingénieur
ne fonctionne pas ici (il faudrait sans doute, vu le grand Rapport de
Masses Final des fusées à eau, prendre une autre masse supposée
constante pour l'intégration) [9] :
[pic]
Au vu de ce graphe, on note que la vitesse prédite par
Tsiolkovski(courbe violette) n'est pas si mauvaise, par rapport à la
vitesse réelle (courbe rouge), du moins dans cette configuration de
paramètres. Ceci est principalement dû au fait que la traînée, si elle
existe bien [10] , ne dispose pas d'assez de temps pour freiner
significativement la fusée : lorsque le Temps de Propulsion est bref,
la formule de Tsiolkovski approche donc tout à fait bien la vitesse
réelle de fin de propulsion.