Exercices 1

Exercices 1.2
Problème 13 page 30 Énoncé du problème et résolution :
Soit f(x) = 1 - x3.
a) Représenter graphiquement la fonction f sur [0,1] ainsi que le rectangle
de base t et de hauteur f(t), où t ( [0,1]. Pour accomplir cette tâche avec le logiciel MAPLE, il faut :
. représenter graphiquement la fonction sur l'intervalle donné;
. construire un rectangle approprié et le représenter dans le plan
cartésien;
. fusionner les représentations graphiques obtenues. Première étape :
Débuter avec un premier bloc d'instructions qui permet de représenter
graphiquement la fonction f sur l'intervalle [0,1]. [pic] Remarques concernant ce bloc d'instructions : [pic]
La résolution du problème s'amorce en effectuant une assignation.
Celle-ci permettra d'éviter d'écrire à plusieurs reprises l'expression
de la fonction étudiée dans le cadre de la résolution du problème qui
s'effectuera en quelques étapes. La commande « MembreDeGauche :=
MembreDeDroite » est celle qui demande à MAPLE d'assigner la valeur de
MembreDeDroite au nom MembreDeGauche.
Pour effectuer une opération d'exponentiation, telle ab, la commande
MAPLE à utiliser est « a^b». Le symbole « ^ » est obtenu avec le
caractère de l'accent circonflexe et n'apparaît à l'écran que lorsque
l'exposant est donné. [pic]
On représente graphiquement une fonction sur un intervalle donné en
utilisant la commande « plot(NomDeLaFonction, NomDeLaVariable =
BorneInf..BorneSup) ». Dans le cas présent, la fonction porte le nom
f (voir la première ligne d'instructions) et l'intervalle est [0,1]. Deuxième étape :
Il faut construire le rectangle dont les dimensions sont t et f(t) avec t (
[0,1]. MAPLE ne peut déterminer lui-même la valeur du paramètre t. On peut
choisir arbitrairement une valeur réelle comprise entre 0 et 1 et
l'assigner au paramètre t. Prendre, par exemple, t = 0,65. Le rectangle
voulu se construit donc en jumelant sur un même plan cartésien le segment
de droite horizontal reliant les points (0, f(t)) et (t, f(t)) et le
segment de droite vertical reliant les points (t, 0) et (t, f(t)). Voici
un bloc d'instructions qui permet d'effectuer cette tâche : [pic] Remarques concernant ce bloc d'instructions : [pic]
On demande ainsi à MAPLE d'assigner la valeur 0,65 à la variable t. Il
est important de constater que la syntaxe pour les nombres présentant
une partie décimale demande d'utiliser un point décimal et non une
virgule. [pic]
La commande « eval(Expression, NomDeLaVariable =ValeurDésirée) »
permet d'évaluer une expression en une valeur donnée. Ainsi, cette
ligne d'instructions permet d'évaluer la fonction f pour x = 0,65. De
plus, cette valeur est assignée au nom Imaget. Chaque fois qu'il sera
nécessaire d'utiliser la valeur de la fonction f pour x = 0,65, il
suffira d'utiliser le nom Imaget. [pic]
Pour représenter un segment de droite reliant deux points, on utilise
la commande « plot » en donnant comme argument NomDeLaFonction une
liste précisant les coordonnées des points. De plus, la commande
« plot » admet différentes options comme argument. Ainsi, on peut
constater qu'il est possible de demander à MAPLE d'utiliser une
couleur particulière pour tracer une fonction. Les couleurs
disponibles sont : aquamarine, black, blue, brown, coral, cyan, gold,
green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, navy, orange, pink, plum,
red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat, white, yellow. Ces lignes
d'instructions demandent finalement à MAPLE d'assigner la
représentation graphique du trait horizontal supérieur du rectangle au
nom DroiteHorizontale et d'assigner la représentation graphique du
trait vertical de droite du rectangle au nom DroiteVerticale.
On ne désire pas que ces côtés de rectangle soient représentés seuls
dans un plan cartésien. Il faudra donc les jumeler. C'est pourquoi,
entre autres, ces lignes d'instructions se terminent par le
caractère « : » et non « ; ».
[pic]
La commande « plots[display](PremierGraphique, DeuxièmeGraphique,...,
DernierGraphique) » permet de jumeler plusieurs représentations
graphiques dans un même plan cartésien. PremierGraphique,
DeuxièmeGraphique,..., DernierGraphique sont les noms des
représentations graphiques des différentes fonctions, donnés par
assignation.
Troisième étape :
La solution finale de la première partie du problème à résoudre peut donc
s'obtenir en modifiant le bloc d'instructions précédent de la façon
suivante : [pic] b) Exprimer l'aire A du rectangle précédent en fonction de t, et déterminer
dom A, selon le contexte donné. Voici un bloc d'instructions qui permet d'effectuer cette tâche : [pic] Remarques concernant ce bloc d'instructions : [pic]
Puisqu'on a précédemment assigné la valeur 0,65 à la variable t et
qu'on n'a pas quitté le logiciel, MAPLE conserve en mémoire
l'assignation. La commande « unassign('MembreDeGauche') » permet
d'enlever l'assignation qui a été obtenue avec la commande «
MembreDeGauche := MembreDeDroite ». [pic]
Ces trois dernières lignes du bloc d'instructions permettent
d'assigner la valeur t au nom Base, la valeur f(t) au nom Hauteur
ainsi que la valeur Base ( Hauteur au nom Aire. Pour effectuer une multiplication, telle a ( b, la commande MAPLE à
utiliser est « a*b ». c) Représenter graphiquement la fonction A. Voici un bloc d'instructions qui permet d'effectuer cette tâche : [pic] d) En choisissant des intervalles appropriés pour t et A, déterminer
approximativement la valeur de t qui maximise A et déterminer
approximativement l'aire maximale. Lors de l'exécution du dernier bloc d'instructions, MAPLE a donné la
représentation graphique de la fonction A. En cliquant, à l'aide du bouton
gauche de la souris, sur la courbe de la fonction à l'endroit où elle
atteint son maximum, on voit apparaître un menu contextuel juste au-dessus
de la feuille de travail. À l'extrémité gauche de ce menu se trouve une
petite fenêtre donnant les coordonnées du point maximal grossièrement
localisé : [pic]. Ainsi, la valeur de t qui maximise l'aire A du rectangle
peut être approximée par 0,63 et quant à elle, l'aire vaut
approximativement 0,47 unités2. Première piste d'exploration : Soit f(x) = et g(x) = |x| - 1. Voici une liste de différentes tâches qu'il peut être intéressant
d'accomplir :
. assigner aux lettres f et g les règles de correspondance respectives de
ces fonctions;
. représenter graphiquement ces deux fonctions dans un même plan cartésien;
. déterminer approximativement les coordonnées des points d'intersection de
ces deux courbes. Voici une démarche partielle pour la résolution de ces trois tâches.
Puisqu'il s'est glissé quelques erreurs dans le bloc d'instructions
suivant, il faut le tester avec le logiciel MAPLE et apporter les
correctifs. [pic] Voici ce qu'on devrait obtenir une fois les erreurs corrigées : [pic]
Réflexions concernant le dernier bloc d'instructions : La fonction f est une fonction rationnelle. Ainsi, elle sera
discontinue aux valeurs de x qui font en sorte que son dénominateur
s'annule puisque ces valeurs, ne faisant pas partie du domaine,
n'auront évidemment pas d'image. C'est pour cette raison que la
commande optionnelle « discont = true » a été ajoutée en argument à la
commande « plot ». Que se passe-t-il si cette option n'est pas
présente ?
Que se passe-t-il si on supprime l'option « NomDeLOrdonnee =
BorneInf..BorneSup » de la commande « plot » dans la représentation
graphique de la fonction f ? Deuxième piste d'exploration : Résoudre le problème 7 du test récapitulatif à la fin du chapitre (page
38), en utilisant la démarche proposée au problème 13.