CLASSES DE PREMIERES GÉNÉRALES

CLASSES DE PREMIERES GÉNÉRALES
ET TECHNOLOGIQUES OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES
Académie d'AIX-MARSEILLE
Session 2009 Série S
CORRECTION
Exercice 1: Partie A : 1- Plus petite valeur : 6 (=1 + 2 + 3)
2- Plus grande valeur : 24 (= 7 + 8 + 9) Partie B : | | | |2| | | |
| | |7| |1| | |
| |6| | | |9| |
|5| |3| |4| |8|
1- Triangle 20-magique :
2- a. 3S = n1 + n2 + n3 + n4 + n4 + n5 + n6 + n7 + n7 + n8 + n9 + n1 =
1+2+3+4+5+6+7+8+9+T
b. [pic] (cf. partie A)
c. (17,6) (18,9) (19,12) (20,15) (21,18) (22,21) (23,24)
| | | |1| | | |
| | |8| |4| | |
| |6| | | |9| |
|2| |5| |7| |3|
3- Triangle 17-magique :
4- Supposons qu'un tel triangle existe, alors [pic].
Aucun des trois nombres [pic], [pic], [pic] n'est 9. 9 serait donc un
des six autres nombres.
Considérons le côté du triangle sur lequel se situe le nombre 9. On
peut supposer par exemple que [pic]. On aurait alors, [pic], d'où
[pic]. Or, [pic]. Par suite, [pic], ce qui est exclu.
Il n'existe donc pas de triangle magique tel que [pic].
(On peut aussi envisager toutes les possibilités.) 5- a. Supposons qu'un tel triangle existe, alors [pic].
Supposons que 7 ne soit pas sur l'un des sommets et considérons le
côté du triangle
sur lequel se situe le nombre 7. On peut supposer par exemple que
[pic]. On aurait
alors, [pic], d'où [pic]. Or, [pic].
Par suite, [pic], ce qui est exclu.
7 est donc nécessairement situé sur l'un des sommets du triangle. | | | |7| | | |
| | |4| |1| | |
| |5| | | |9| |
|3| |8| |6| |2|
b. Triangle 19-magique
6- Il suffit de remplacer chaque ni par 10 - ni ; les sommes sont alors
remplacées par 40 - S et les 10 - ni sont deux à deux distincts et
compris entre 1 et 9.
7- Les valeurs de S pour lesquelles ont peut trouver un triangle S-magique
sont : 17, 19, 20 (trouvées dans les questions précédentes) et 23, 21
(d'après la question précédente).
Il n'y a pas de triangle 18-magique, et donc pas non plus de triangle 22-
magique.
Exercice 2: [pic]
D'où l'égalité : [pic] d'où [pic] d'où [pic] d'où [pic] 5- Le pliage correspond à une symétrie axiale d'axe (AC).
Notons B' l'image de B et E l'intersection de (AB') et (CD) (qui sont
sécantes) et E' le symétrique de E (E' est sur (AB) car CBE' est un
triangle rectangle image de CB'E).
La symétrie assure les égalités de longueurs : CE'=CE et AE=AE'
On conclut avec le parallélisme de (CE) et (AE'). Remarque : Sauf dans le cas où la figure de départ est un carré (identique
à la figure d'arrivée, donc un losange), la figure CB'E est bien un
triangle extérieur au rectangle ABCD, c'est-à-dire la partie enlevée.
(Il suffirait de dire que FJ < FB' car le triangle AJC a une aire
inférieure au triangle ABC, triangles de même base et donc de hauteurs sont
classées dans l'ordre souhaité)
Exercice 3: En ce qui concerne la surface totale des six faces du cube, les réponses
possibles sont : [pic], c'est-à-dire [pic].
Parmi les réponses proposées, seule 24 convient puisque nous savons qu'un
élève a eu 20. La réponse à la deuxième question est 24. La réponse à la question :
« Le prix d'une chemise, vendue avant les soldes à 20 E, baisse de 20 %.
Quel est son nouveau prix ? » est : [pic]. ( Supposons que 16 soit la bonne réponse à la première question. | |Réponse à la |Réponse à la |Réponse à la |Réponse à la |
| |première |deuxième |troisième |quatrième |
| |question |question |question |question |
|Alex |16 |18 |16 |10 |
|Carina |12 |24 |12 |14 |
|Jérôme |12 |24 |16 |18 |
|Lucille |8 |18 |14 |10 |
|Myriam |16 |26 |16 |14 |
|Nicole |8 |24 |18 |18 |
|Saïda |8 |20 |16 |10 |
|Yves |16 |24 |18 |10 | Dans ce cas, comme nous le voyons sur le tableau ci-dessus, seul Yves
aurait 20, et en considérant les bonnes réponses d'Yves, personne n'aurait
0.
Ce cas est exclu. 16 est donc la réponse à la troisième question. | |Réponse à la |Réponse à la |Réponse à la |Réponse à la |
| |première |deuxième |troisième |quatrième |
| |question |question |question |question |
|Alex |16 |18 |16 |10 |
|Carina |12 |24 |12 |14 |
|Jérôme |12 |24 |16 |18 |
|Lucille |8 |18 |14 |10 |
|Myriam |16 |26 |16 |14 |
|Nicole |8 |24 |18 |18 |
|Saïda |8 |20 |16 |10 |
|Yves |16 |24 |18 |10 | Jérôme est le seul a pouvoir avoir 20. En considérant les bonnes réponses
de Jérôme, les autres notes en découlent : Lucille a eu 0, Alex, Myriam,
Saïda et Yves ont eu 5, Carina et Nicole ont eu 10. Exercice 4: 1- [pic], donc [pic].
Dans le triangle AOE rectangle en O, d'après le théorème de
Pythagore :
[pic],
[pic],
On en déduit : [pic]. Le point E appartient à [pic], donc le triangle ABE est rectangle en
E. Les AOE et ABE sont deux triangles rectangles qui ont un angle aigu en
commun. Ils sont donc semblables. Dès lors : [pic]. Il vient : [pic].
Le rayon de [pic] a donc pour mesure 5,8 m. 2- Soit ? le centre du cercle [pic], et r le rayon de [pic]. [pic].
D'autre part, [pic], donc [pic], et [pic], donc [pic]. Dans le triangle ?OI rectangle en O, d'après le théorème de
Pythagore :
[pic],
[pic].
En développant, il vient : [pic], c'est-à-dire [pic] m.
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2- Sachant que AE'CE est un losange on a :
[pic] soit c = 10 3- On a nécessairement : [pic] avec [pic]
soit : [pic]
d'où les seules réponses entières : L=12 et l=6.
Et ces deux dimensions conduisent bien à un losange de côté 7,5 cm. 4- Sachant que AE'CE est un losange, on a ED=E'B donc les triangles
rectangles BCE' et AED sont isométriques. La somme de leurs aires est
égale à 25% de l'aire du rectangle.