Mathématiques - 2eme année d'économie et de gestion

Maths

Chapitre 1 : Fonctions numériques de plusieurs variables réelles 1
Section 1 : Définitions - Exemples 1
A- Définition 1
B- Représentation d'une fonction de plusieurs variables. 2
Section 2 : Notion de distance dans Rn, continuités, limites. 2
Section 3 : Dérivées partielles. 3
A- Fonctions partielles. 3
B- Dérivés partielles. 3
C- Dérivées partielles d'ordre supérieur. 4
Section 4 : Dérivées de fonctions composées. 4
A- Exemples 4
Section 5 : Les fonctions homogènes 4
Section 6 : Les fonctions implicites. 5
Section 7 : Différentielle 5

Chapitre 2 : Optimisation des fonctions de plusieurs variables : 5
Section 1 : Rappel sur les fonctions réelles d'une variable réelle. 5
Section 2 : Optimisation des fonctions de deux variables avec contrainte.
5
Section 3 : Quelques définitions. 6
Section 4 : Extremum relatif et libre des fonctions de deux variables.
6





Chapitre 1 : Fonctions numériques de plusieurs variables réelles

Section 1 : Définitions - Exemples
A- Définition
Une fonction numérique de plusieurs variables définies par :
[pic]
f est définie sur D, un sous-ensemble de [pic]et f a pour image au plus un
réel z.

Exemple :
[pic]
f est définie si et seulement si x > 0 , y et z différents de 0.
[pic]

[pic]

g est définie si et seulement si [pic].
[pic]

Lorsque la fonction est définie dans R², on peut parfois représenter le
domaine de définition. Pour la fonction g, on trace la droite (D)
d'équation x + y = 0.

[pic]
Cette droite définit deux demi-plans, P1 et P2.
Soit A (I, T) [pic]si x = y = 1 alors x + y = 2 > 0.
Les points M(x, y) [pic]ont des coordonnées qui vérifient x + y > 0.
Le domaine de g est l'ensemble des points de (P2) et de la droite (D).

B- Représentation d'une fonction de plusieurs variables.
De façon générale, la représentation graphique d'une fonction [pic]est
l'ensemble des points [pic] [pic] de [pic]où [pic].

Exemple :
[pic]
La représentation graphique de h est l'ensemble des points M (x, y, z = x²
+ y²) où [pic].
[pic]
En économie, on définit les courbes de niveaux appelées aussi courbes
isoquantes. Ce sont les courbes qui relient les points de même altitude z0
donné (courbes isothermes, isobares).
Pour h, la courbe de niveau 4 correspond aux points N de coordonnées (x, y)
situés dans le plan horizontal d'équation z = 4 et tels que x² + y = 4. Ce
sont les rayons du cercle de rayon 2.


Section 2 : Notion de distance dans Rn, continuités, limites.
Voir polycopie.


Section 3 : Dérivées partielles.
A- Fonctions partielles.
A partir d'une fonction [pic]où on a défini Df, on peut définir n fonctions
partielles de R dans R par :
Pour [pic].
Si [pic].
Il y a seulement la i-ème variable qui est vraiment considérée comme une
variable. Les autres seront considérées comme des constantes.

Exemple :
[pic]

f est définie si et seulement si y > 0 et z[pic]0.
[pic].
On définit trois fonctions partielles :
Pour (x, y, z)[pic]

[pic]
f1 est une fonction polynôme du premier degré en x.

[pic]
f2 est une fonction logarithme.

[pic]
f3 est une fonction rationnelle.

B- Dérivés partielles.
Voir chapitre 0 de première année.

Définition :
Soit f une fonction définie et continue sur un voisinage ouvert de Rn
contenant[pic].
Si [pic]existe, elle est notée[pic].
C'est la dérivée partielle d'ordre 1.

Pour la fonction précédente, il existe trois dérivées partielles d'ordre
1 :
[pic]

Applications des dérivées partielles :
Problème de calcul d'élasticité partielle.
Lagrangien.
Calcul de productivité marginale.

L'existence de dérivées partielles en un point n'entraîne pas forcément la
continuité en ce point. Par contre, si les dérivées partielles sont
continues au point A, alors la fonction est continue en A.

C- Dérivées partielles d'ordre supérieur.
Si [pic]admet des dérivées partielles continues et dérivables, alors on
peut à nouveau dériver par rapport à chacune des n variables les n dérivées
partielles. On définit donc des dérivées partielles d'ordre 2 :
[pic]

Théorème de Schwarz :

Section 4 : Dérivées de fonctions composées.
A- Exemples


Théorème général :

Remarque :

Démonstration du théorème des fonctions composées dans le cas de deux
variables :

Rappel :


Section 5 : Les fonctions homogènes
Exemples :

Propriétés :

Preuve :

Exercice :

Remarque :

Exercice :

Conséquence :

2- Soit f : R² [pic]R
(x, y) [pic]f (x, y)
homogène de degré 2.

D'après l'identité d'Euler, on a la relation
x f'x (x, y) + y f'y (x, y) = r f (x, y)
Si f (x, y) [pic]0
x [pic]+ y [pic]= r
[pic]+ [pic]= r


Section 6 : Les fonctions implicites.

Définition :

Remarque :

Théorème des fonctions implicites :

Explications :

Preuve :

Remarque :

Exercice :


Section 7 : Différentielle
Cas particulier :

Généralisation :

Définition de la différentiabilité :

Théorème admis :

Théorème admis :

Définition de la différentiabilité :


Chapitre 2 : Optimisation des fonctions de plusieurs variables :

Section 1 : Rappel sur les fonctions réelles d'une variable réelle.


Section 2 : Optimisation des fonctions de deux variables avec
contrainte.


g'' (a) = [pic]< 0 pour tout a [pic] ] 0 ; 10 [
Sur ] 0 ; 10 [, Cg est concave donc en a = 6,25, g admet un maximum absolu.
Conclusion : Si a = 6,25 alors b = 50 - 5 * 6,25 = 18,75
Sous la contrainte de dépense de 100 E, la satisfaction est maximale en
(6,25 ; 18,75) et cette dépense maximale vaut 17,96.

Exercice n°3
10 amis se réunissent et décident de former deux groupes. Dans chaque
groupe, chacun veut payer une tournée, c'est-à-dire un verre à chaque
membre du groupe. Chaque boisson est vendue au même prix.
Comment répartir les amis pour que le coût total des consommations soit
minimum ?
Soit x et y le nombre de personnes dans chaque groupe.
x [pic]{ 1, ..., 9}
y [pic]{ 1, ..., 9}
x + y = 10
Soit p le prix d'une boisson.
La somme totale payée dans le groupe des x personnes est xp + xp + ... + xp
= x * xp = px²
La somme totale payée dans le groupe des y personnes esy py²
La somme totale dépensée est px² + py²
On doit optimiser la fonction S de deux variables (avec un paramètre p > 0)
sous la contrainte x + y = 10
y = 10 - x
S (x ; y = 10 - x) = px² + p (10 - x)²
On doit optimiser f(x) = px² + p (10 - x)²
f' (x) = 2 px - 2p (10 - x)
f' (x) = 0 [pic]2 px - 2p (10 - x) = 0
Comme p [pic]0 [pic]x - 10 + x = 0 [pic]x = 5
f'' (x) = 2p + 2p = 4p > 0
Cg est convexe sur ] 0 ; 10 [ donc en x = 5, on a un minimum absolu.
Conclusion : Si x = 5 alors y = 5
S sera minimale en (5 ; 5) sous la contrainte x + y = 10.


Section 3 : Quelques définitions.
Soit f : Rn [pic] R
(x1, ..., xn) [pic]f (x1, ..., xn)
Soit M (x1, ..., xn) [pic] Df [pic]Rn
f admet en M0 un maximum global (absolu) [pic]pour tout M [pic]Df, f (M)
[pic]f (M0)
f admet en M0 un minimum global (absolu) [pic]pour tout M [pic]Df, f (M)
[pic]f (M0)
f admet en M0 un maximum local (relatif) [pic]pour tout M [pic]Df, f (M)
[pic]f (M0)
f admet en M0 un minimum local (relatif) [pic]pour tout M [pic]Df, f (M)
[pic]f (M0)

Propriété :
Un extremum global est local mais la réciproque est fausse.

Définition :
Un point stationnaire est un point de Rn où les dérivées partielles d'ordre
1 s'annulent. C est une condition nécessaire pour avoir un extremum mais
non suffisante.


Section 4 : Extremum relatif et libre des fonctions de deux variables.
f : Rn [pic] R
[pic]
A est un maximum de f
On considère les fonctions partielles.
[pic]Alors f'x (x0, y0) = 0 et f''x² (x0, y0) < 0 f'y (x0, y0) = 0 et
f''y² (x0, y0) < 0

[pic]
Si B est un minimum local de f
On considère les fonctions partielles
[pic] Alors f'x (x1, y1) = 0 et f''x² (x1, y1) > 0 f'y (x1, y1) = 0 et
f''y² (x0, y0) > 0
Ces conditions sont nécessaires mais non suffisantes.
On peut avoir des points qui sont soit minimum soit maximum suivant les
axes.
Ces points sont appelés des points cols ou points selles.

Formule de développement limités d'une fonction de deux variables à l'ordre
2.
A (x0, y0, f(x0, y0))
Soit h et k des petites variations.
f (x0 + h ; y0 + h) [pic]f (x0 ; y0) + h f'x (x0 ; y0) + k f'y (x0 ; y0) +
[pic][h² f''x² (x0 ; y0) + 2hk f''xy (x0 ; y0) + k²f''y²(x0 ; y0)]
Pour connaître la nature du point M0 (x0 ; y0), on veut connaître le signe
de f (x0 + h ; y0 + k) - f (x0 ; y0)
En (x0 ; y0), on a un point stationnaire [pic]f'x (x0 ; y0) = f'y (x0 ; y0)
= 0
f (x0 + h ; y0 + k) - f (x0 ; y0) [pic][pic][h² f''x² (x0 ; y0) + 2hk f''xy
(x0 ; y0) + k²f''y²(x0 ; y0)] [pic] [pic][[pic]² f''x² (x0 ; y0) + 2[pic]hk
f''xy (x0 ; y0) + k²f''y²(x0 ; y0)]
[pic] Polynôme du second degré en [pic]qui a le même signe que f (x0 + h ;
y0 + k) - f (x0 ; y0)
On calcule le discriminant
[pic]= [ 2 f''xy (x0 ; y0)] ² - 4 * f''x² (x0 ; y0) * f''y² (x0 ; y0) = 4 [
f''xy² (x0 ; y0) - f''x² (x0 ; y0) * f''y² (x0 ; y0) = 4[pic]'

1er cas :
Si [pic]' < 0, alors le polynôme est de signe constant, du même signe que
f''x² (x0 ; y0)
Si f''x² (x0 ; y0) < 0 alors f (x0 + h ; y0 + k) - f (x0 ; y0) < 0 pour
toute variation h et k.
Donc f admet en (x0 ; y0) un maximum relatif.
Si f''x² (x0 ; y0) > 0, f (x0 + h; y0 + k) - f (x0 ; y0) > 0
Donc f admet en (x0 ; y0) un minimum relatif.

2ème cas :
Si [pic]' > 0 alors le polynôme n'est pas de signe constant donc f (x0 + h;
y0 + k) - f (x0 ; y0) change de signe suivant la position de M (x0 + h ; y0
+ k) par rapport à M0 (x0 ; y0). On a alors un point col ou un point selle
(ce n'est pas un extremum).

3ème cas :
Si [pic]' = 0, on ne peut pas conclure avec ce raisonnement qui utilise un
développement limité à l'ordre 2 (il faudrait aller plus loin).

Remarque :
Dans le raisonnement précédent, on aurait pu