CORRIGÉ

CORRIGÉ
ÉPREUVE COMMUNE DE MATHÉMATIQUES
Lundi 21 mai 2007

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

Exercice 1
[pic]
[pic]


Exercice 2

On considère l'expression C = (x - 1)(3x + 7) - (x - 1)2.

1. Développer et réduire C.
[pic]
2. Factoriser C.
[pic]
3. Résoudre l'équation (x - 1)(2x + 8) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
d'où x - 1= 0 ou 2x + 8 = 0
x= 1 x = -4
Les solutions sont -4 et 1.
Exercice 3

1. Résoudre le système suivant en précisant la méthode employée :
[pic]
Méthode de substitution
D'après L2 x = 42,20 - 3y
On substitue x par 42,30 - 3y dans L1
[pic]
D'où x = 42,20 - 3×9,5
x = 13,7
La solution du système est (13,7 ; 9,5)
Méthode de la combinaison linéaire
Pour supprimer les « x » on effectue la combinaison L1 - 3L2
[pic]
D'où en remplaçant y par 9,5 dans L2 on a :
x + 3×9,5 =42,20
x + 28,5 = 42,20
x = 42,20 - 28,5
x = 13,7
La solution du système est (13,7 ; 9,5)

2. Le problème se traduit par le système précédent où x représente le prix
d'un oranger et y représente le prix d'un citronnier. Donc un oranger coûte
13,70 euros et un citronnier 9,50 euros.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points)

Exercice 1
1. Les coordonnées du vecteur [pic] sont ( 4 ; 2).
2. Les coordonnées de R sont (4 ; 2) et celles de C sont (5 ; 6).
3. Par construction de R et C on a [pic].
Puisque [pic] on a que BCRO est un parallélogramme.
4. Recopier et compléter sans justification les égalités :
[pic] (Relation de Chasles) ; [pic](Identité du parallélogramme)
5. K est le centre du parallélogramme BCRO donc c'est le milieu des
diagonales, en particulier le milieu de [OC].
[pic] [pic] Les coordonnées de K sont (2,5 ; 3)

Exercice 2
1. Montrer que les droites (MP) et (AB) sont parallèles.
Les points A, M et O d'une part et B, P et O d'autre part sont aligné dans
cet ordre.
D'une part [pic]
D'autre part [pic]
Finalement [pic] donc d'après la réciproque du théorème de Thalès les
droites (AB) et (MP) sont parallèles.

2. Calculer la longueur AB.
Les droites (AM) et (PB) sont sécantes en O, les droites (AB) et (MP) sont
parallèles donc d'après le théorème de Thalès on a :
[pic] d'où [pic]
Donc [pic] AB = 20

3. Montrer que le triangle OAB est rectangle en O.
Dans le triangle OAB,
d'une part AB2 = 202 = 400, d'autre part OA2 + OB2 = 122 + 162 = 144 + 256
= 400
Finalement AB2 = OA2 + OB2 donc d'après la réciproque du théorème de
Pythagore le triangle OAB est rectangle en O. (Remarque si on n'a pas
calculer AB on montre que OMP est rectangle en O)

Exercice 3
1. Justifier que le triangle MAH est un triangle rectangle.
Le triangle MAH est inscrit dans un cercle, un côté de ce triangle est un
diamètre de sont cercle circonscrit donc le triangle est rectangle et ce
côté est l'hypoténuse.
Conséquence MAH est rectangle en M.
2. Calculer la mesure de l'angle MHA, arrondie à l'unité.
Dans le triangle MAH rectangle en M on a :
[pic] [pic] [pic] [pic]

PROBLÈME (12 points)

1. Compléter le tableau suivant :
|Durée (en minutes) |30 |45 |60 |75 |
|Abonnement A (en euros) |28 |31,5 |37 |41,5 |
| |30×0,3+19 |45×0,3+19 |60×0,3+19 |75×0,3+19 |
|Abonnement B (en euros) |35 |38 |41 |44 |
| |30×0,2+29 |45×0,2+29 |60×0,2+29 |75×0,2+29 |


2. Exprimer yA et yB en fonction de x.
yA = 19 + 0,3x et yB = 29 + 0,2x
3. Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 euros
pour l'abonnement A.
151 -19 = 132
Les communications ont coûtées 132 euros.
132 : 0,3 = 440
Pour 151 euros on a communiqué 440 minutes.
4. f et g sont deux fonctions affines donc leurs représentations graphiques
sont des droites.
On utilise les valeurs du tableau pour établir le graphique ci-contre.






5.a. Résoudre l'équation 19 + 0,3x = 29 + 0,2x.
0,3x - 0,2x = 29 - 19
0,1x = 10
x [pic]
x= 100


Pour 100 minutes de communication les deux tarifs sont égaux.
b. Quel est le tarif le plus avantageux si l'on consomme moins d'une heure
de communication par mois ?
Le tarif A est le plus avantageux car graphiquement pour moins de 60
minutes (une heure) la courbe représentant le tarif A est en dessous de la
courbe représentant le tarif B.
6.a. Pour 46 euros on dispose de 90 minutes de communication avec le tarif
A.
b. Retrouver ce résultat par le calcul.
46 - 19 = 27
On les communications représentent 27 euros.
27 : 0,3 = 90
Pour 46 euros, on dispose de 90 minutes de communication.
-----------------------
10

90

Communication
en min

0

5

19

29

46

Prix en euros

O

J

I

R

A

K

B

C