Exercice 1 - Loire Cambodge

Exercices : la loi binomiale Exercice 1
Environ 5% des réservations aériennes sur une ligne donnée ne sont pas
utilisées, et c'est pourquoi
une compagnie vend 100 billets pour 97 places.
Quelle est la probabilité pour que tous les passagers aient une place ?
Faire le calcul exact Corrigé
Soit X le nombre d'annulations ; X suit la loi binomiale B (n = 100;p =
5/100), car on répète 100 fois
l'expérience « demander à un passager s'il annule sa réservation », de
façon indépendante , X représente
alors le nombre de succès
Tous les passagers ont une place s'il y a au moins 3 annulations ; la
probabilité recherchée est donc :
P(X [pic] 3) = 1-[pic]=1-[pic][pic]88,17% Exercice 2
Une classe de terminale compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de
mathématiques, le professeur de cette classe interroge au hasard un élève.
D'un cours à l'autre, le professeur ne se rappelle pas de l'élève interrogé
au cours précédent ce qui fait qu'à chaque cours, le choix de l'élève par
le professeur est indépendant des choix précédents.
a. Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l'élève interrogé soit
une fille? Soit n un entier positif. On appelle X la variable aléatoire définie
par:
"X=nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques
consécutifs"
b. Quelle est la loi de probabilité de X?
c. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal
à 4 durant 10 cours consécutifs?
d. Quelle doit être le nombre minimum de cours consécutifs pour la
probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieur à 0,001?
e. Durant un trimestre, il y a 36 cours de mathématiques. Quel nombre de
filles interrogées peut-on espérer? Correction Exercice 2
Comme il y a 30 élèves dans la classe dont 20 filles, la probabilité que
l'élève interrogé soit une fille est : 2/3
X est la variable aléatoire égale au nombre de filles interrogées durant n
cours de mathématiques par le Professeur.
b- Comme on suppose que le Professeur interroge de façon indépendante les
élèves d'un cours à l'autre, pour chaque cours, la probabilité qu'une fille
soit interrogée est constamment égale à p =1/3.
La variable X suit donc un loi Binomiale de paramètres (n, p = 2/3).
[pic] c- En particulier, pour n = 10 et k = 4 , on a:
[pic] d- On cherche n tel que P( X = 0 ) < 0,001.
[pic]
En utilisant la fonction ln (logarithme népérien), on doit donc avoir
:
[pic]
e- Le nombre filles interrogées que l'on peut espérer est l'espérance de X.
On sait que l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi
Binomiale
de paramètres (n , p) est : E[X] = np
Sur 36 cours de mathématiques, on peut donc espérer
[pic]
filles interrogées
Exercice 3 - probabilités conditionnelles et loi binomiale.
Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se
répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité :
mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante.
Nous savons de plus que : 37% des candidats ont choisi l'enseignement de
spécialité mathématiques.
. 25% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité langue
vivante.
. 21% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité
mathématiques et ont obtenu le baccalauréat.
. 32,5% des candidats ont choisi l'enseignement de spécialité SES et ont
obtenu le baccalauréat. De plus, parmi les candidats ayant choisi
l'enseignement de spécialité langue vivante, 72,5% ont obtenu le
baccalauréat. On interroge un candidat pris au hasard. On note :
. M l'événement « le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
mathématiques » ;
. S l'événement « le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
sciences économiques et sociales » ;
. L l'événement « le candidat a choisi l'enseignement de spécialité
langue vivante » ;
. R l'événement « le candidat a obtenu le baccalauréat ».
On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les
résultats seront arrondis au millième.
1) Traduire en termes de probabilités les informations numériques données
ci-dessus.
2) a) Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi
l'enseignement de SES.
b) Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l'enseignement
de spécialité langue vivante et ait réussi aux épreuves du baccalauréat.
3) Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi l'enseignement
de spécialité langue vivante et ait échoué au baccalauréat ?
4) Ce candidat a choisi l'enseignement de spécialité mathématiques. Quelle
est la probabilité qu'il n'ait pas obtenu le baccalauréat ?
5) Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les
candidats de ES dans cette académie est 71,6%.
6) On interroge successivement au hasard et de façon indépendante trois
candidats.
a) Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux soit reçu ?
b) Quelle est la probabilité que deux candidats sur trois exactement soient
reçus ? Corrigé exercice 3
1) En utilisant les notations de l'énoncé, nous avons p (M)=0,37, p
(L)=0,25,
p (M[pic]R)=0,21, p(S[pic]R)=0,325 et pL(R)=0,725
2) a) On calcule p(S)=1-(p (M) +p (L)) ==1-(0,37+0,25)=1-0,62=0,38
b) On calcule p (L[pic]R)=p(L)xpL(R)=0,25x0,725=0,18125[pic]0,181 arrondi
au millième
3) Oncalcule [pic] arrondi au millième
4) On calcule [pic] arrondi au millième.
Puisque p (M)=0,37 et p(M[pic]R)=0,21, on calcule [pic] et donc
[pic] arrondi à 10-3
5) En appliquant la formule des probabilités totales,
p(R)=p(L[pic]R)+p(S[pic]R)+p(M[pic]R)[pic]0,181+0,325+0,21[pic]0,716, d'où
la réponse
6) On répète 3 fois successivement, et de manière indépendante, la même
épreuve consistant à choisir un élève qui peut avoir été reçu (issue R que
nous appellerons SUCCES, de probabilité 0,716) ou qui peut avoir échoué
(issue [pic] que nous appellerons ECHEC, de probabilité 1-0,716=0,284).
Le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètre 3 et 0,716.
On peut matérialiser cette situation par un arbre :
[pic]
a) L'événement contraire de l'événement « au moins un des trois candidats
est reçu » est l'événement « les trois candidats ne sont pas reçus », de
probabilité 0,2843. L'événement considéré a donc pour probabilité 1-
0,2843[pic]0,977 arrondi au millième
b) Pour calculer la probabilité que deux candidats sur trois exactement
soient reçus, soit on compte le nombre de chemins répondant à cette
situation sur l'arbre (on en compte trois : RR[pic] , R[pic]R et [pic]RR,
chacun d'eux représentant une probabilité égale à 0,7162x0,2841), soit on
applique la formule donnant le nombre de succès dans une situation
binomiale, pour aboutir au calcul :
[pic]
Exercice 4
Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On
suppose que les dés sont non truqués et donc que pour chaque dé, toutes les
faces ont la même probabilité d'apparition.
Le joueur suivant les règles suivantes:
- Si les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd 10 points
- Si les deux dès donnent deux numéros de parités différentes (l'un est
pair et l'autre impair) alors il perd 5 points.
- Dans les autres cas il gagne 15 points.
Le joueur joue une partie et on note X la variable aléatoire correspond au
nombre de points obtenus par lui.
a. Déterminez la loi de probabilité de X puis calculez l'espérance
de X.
b. Représentez graphiquement la fonction de répartition de X.
Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats des parties sont
indépendants les uns des autres.
On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de fois que le
joueur gagne 15 points.
c. Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont les
paramètres de Y?
d. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15
points?
e. Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 points?
Le joueur joue n parties de suite.
f. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points?
g. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins
une fois
15 points est strictement supérieure à 0,9999 ? Correction exercice 4
L'univers W est l'ensemble des résultats possibles après le lancer des deux
dés.
Ici, W correspond au produit cartésien {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}x{1 , 2 , 3
, 4, 5 , 6}.
Son cardinal est Card (W) = 6² = 36.
Comme on suppose qu'il y a équiprobabilité des résultats des lancers, on a
alors:
| Pour tout événement A de |Card(A) |
|W, P (A) = | Car(W) |
a-
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -10 , -5 , +15.
L'événement "X = -10" est l'événement "obtenir le même numéro".
C'est donc l'événement A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.
La probabilité de "X = -10" est donc :
P(X = - 10) = 6 / 36 = 1 / 6
De même, l'événement "X = -5" est l'événement "obtenir 2 numéros de parités
différentes".
C'est donc l'ensemble des couples (a , b) tels que a soit dans {1,3,5} et b
soit dans {2,4,6} ou bien a soit dans {2,4,6} et b soit dans {1,3,5}.
La cardinal de cet événement est donc : 3x3 + 3x3 = 18.
D'où : P( X = - 5) = 18 /36 = 1/2.
Comme S P(X = k) = 1 , on en déduit que P(X = 15) = 1 - P(X=-10) - P(X=-5).
D'où : P(X = 15) = 1 - 1/6 - 1/2 = 1/3
On résume cela sous la forme d'un tableau :
|X = k |-10 |- 5 | 15 |
|P(X = k) |1 |1 |1 |
| | | | |
| |6 |2 |3 |
| | | | | L'espérance de X est alors : E[X] = [pic] P(X=k).k = (1/6)(-10) + (1/2)(-
5) + (1/3)(15) D'où : E[X] = 5/6
b-La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur IR par :
Pour tout x réel, F(x) = P(X < x).
D'après le tableau de la l