Exercice 1 Voyager en se repérant: le GPS et les horloges (9,5pts)

Polynésie 09/2004 Exercice 1 VOYAGER EN SE REPERANT : LE GPS ET LES
HORLOGES
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(9,5 points) 1 Les satellites 1.1. Dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen), le système
{satellite} de masse m est soumis à la force d'attraction gravitationnelle
[pic]exercée par la Terre.
Soit T le centre de la Terre, et S le centre du satellite, on définit le
vecteur unitaire [pic] porté par le rayon de la trajectoire et orienté vers
le centre de la Terre.
On a [pic]
En appliquant la deuxième loi de Newton au système satellite, il vient
[pic]
donc [pic]
Le vecteur accélération est radial (porté par le rayon ST) et centripète
(de même sens que [pic]). Il n'y a donc pas d'accélération tangentielle :
la valeur de la vitesse du satellite est constante et son mouvement est
uniforme.
Par ailleurs, l'orbite du satellite est circulaire (cf. énoncé).
Le mouvement du satellite est bien circulaire et uniforme
1.2. Le mouvement du satellite est circulaire et uniforme : son
accélération se réduit à sa composante radiale et vaut a =[pic].
La question précédente donne a = [pic].
Il vient [pic] = [pic]
alors v2= [pic]
d'où [pic]
1.3. Le satellite effectue une rotation autour de la Terre (parcourt une
distance égale à 2((RT + h)) pendant une durée égale à T, donc T = [pic].
Le texte indique « ces satellites évoluent à une altitude de 20 180
kilomètres. Avec une vitesse proche de 14 000 km.h-1, ils accomplissent un
tour du monde en 12 heures. »
Vérifions la valeur de T avec v = 14000 km.h-1 ; h = 20180 km et RT = 6380
km
T = [pic] = 11,92 h soit environ 12 heures, la période est en accord avec
les données.
1.4. Un satellite géostationnaire possède une période de rotation T égale à
la période de rotation de la Terre sur elle même, soit environ 24 heures.
Les satellites de la constellation navstar de période T = 12,0 h ne sont
pas géostationnaires.
2. Les ondes
2.1.1. ( = [pic] = [pic]
pour [pic] = 1,6 GHz ( = [pic] = 0,1875 m soit ( = 0,19 m
pour [pic] = 1,2 GHz ( = [pic] = 0,25 m
2.1.2. c = [pic] soit t = [pic]
t = [pic] = 6,73(10-2 s durée nécessaire pour que le signal se déplace du
satellite au récepteur.
2.1.3. La distance verticale est la distance séparant le satellite S du
récepteur R.
Notons (h l'erreur sur la distance verticale, alors (t = [pic]
(t = [pic] (t = 6,7(10-8 s soit (t = 67 ns
L'erreur (t est environ 106 fois plus petite que la durée t de propagation
du signal.
La durée t doit donc être mesurée avec une précision très importante, sinon
l'erreur sur la distance verticale sera sensible. 2.1.4. On veut obtenir une erreur sur la distance verticale de 20 cm au
lieu de 20 m.
Notons l'erreur grossière (h = 20 m et l'erreur minimisée (h = 20 cm.
L'erreur est donc divisée par [pic] = [pic]
[pic] = [pic]= 1,0(102
donc N = 1,0(104 mesures.
Il faut que le satellite émette 1,0(104 fois le signal GPS, or un signal
est émis toutes les millisecondes.
La durée nécessaire est donc de 1,0(104 ( 1,0(10-3 = 10 s Donc pour avoir une grande précision sur la distance verticale, il faut
faire un grand nombre de mesures. Cela demande une durée relativement
importante (10 s), pendant ce temps là le récepteur mobile aura eu le temps
de se déplacer, surtout si sa vitesse est élevée. Une telle précision est
donc impossible à obtenir avec un récepteur mobile.
2.2. La fréquence [pic] du signal n'est pas modifiée par la traversée de
l'atmosphère.
Par contre la longueur d'onde ( est modifiée. On sait que ( = [pic], or
[pic] est constante donc si la célérité v diminue alors la longueur d'onde
( diminue également. 2.3. La dernière phrase du texte fait allusion au phénomène de dispersion.
Dans un milieu dispersif la célérité de l'onde dépend de sa fréquence.
Ainsi les signaux de fréquences 1,6 GHz et 1,2 GHz ne se propagent pas à la
même célérité.
3. Les horloges
3.1. [pic] ] = [L]1/2×[g]-1/2
g est homogène a une accélération [g] = [L].[T]-2
il vient [pic]=[L]1/2.[L]-1/2.[T]-2(-1/2 = [T]
Donc [pic] est homogène à un temps.
3.2. Écart relatif noté E : E = [pic] avec ( exprimé en radians. ( = 4° 180° ( ( rad 4° ( ( rad ( = [pic] rad E = [pic] = 3(10-4 = 3(10-2 % 3.3. T1 = 2 ?[pic] T2 = 2 ?[pic] [pic] T2 = T1.[pic] T2 = [pic] = 2,001 s 3.4. L'accélération de la pesanteur g est constante uniquement si le bateau
reste à la même latitude au cours de son voyage, ce qui est impossible.
Comme on vient de le voir dans la question précédente, lorsque g varie
alors la période T de l'horloge varie et elle ne pourra plus être utilisée
pour conserver l'heure du méridien de Greenwich (ou l'heure du port de
départ). Remarque : Harrisson fût confronté à bien d'autres problèmes !
Une horloge à balancier soumise à l'action des vagues ne peut pas donner
une heure convenable puisque son balancier n'oscille pas toujours
régulièrement.
Et la longueur l du balancier métallique varie selon la température,
faisant varier la période de l'horloge. 3.5. Erreur (t = 15 s pour une durée (t = 156 jours = 156(24(3600 s
Précision = écart relatif = [pic] = 1,1(10-6 = 1,1(10-4 %
3.6. Compte tenu de la rotation de la Terre autour de l'axe des pôles, des
observateurs terrestres situés sur le même parallèle voient le même ciel à
des instants différents.
Pour mesurer la longitude, on détermine l'heure locale t1 d'un phénomène
céleste (passage du Soleil au zénith, par exemple) et on la compare avec
l'heure t2 (conservée grâce à une horloge) à laquelle s'est déroulé le même
phénomène sur un lieu de référence.
La vitesse de rotation de la Terre étant connue (360° en 24 h), on peut
déterminer l'angle qui sépare les deux lieux et donc la longitude du lieu
de la mesure.
Si l'horloge dérive, l'erreur sur t2 induit une erreur sur (t2 - t1) et
donc sur l'angle de rotation de la Terre (entre t2 et t1) ou sur la
distance parcourue. Ici, il suffit de déterminer la distance parcourue par
le point P en 15 s.
La trajectoire de P autour de l'axe des pôles est circulaire. Le rayon de
cette trajectoire est donné par r qui dépend de la latitude ? du lieu. cos ? = et donc r = RT.cos ?
r =6380×cos 50°= 4100 km
Comme tous les points situés à la surface terrestre, le point P effectue
une rotation autour de l'axe des pôles en (t = 24 h soit 86400 s. Durant
cette journée, le point P parcourt D = 2?.r En (t = 15 secondes, la distance parcourue par P est d = [pic] = [pic]
d = [pic]= 4,5 km Une telle erreur peut conduire à un naufrage par temps de
brouillard. Merci à P.Orvane et P.Fayolle pour leur contribution à la rédaction de ce
corrigé délicat.
Certains points sont sans doute à améliorer...
Contactez nous à labolycee@labolycee.org pour nous faire part d'éventuels
désaccords.
Nous vous recommandons vivement la lecture du livre de
Dava Sobel « Longitude ».
. Editeur : Seuil (15 mai 1998)
. Collection : Points Sciences
. ISBN-10: 2020338580
. ISBN-13: 978-2020338585
L'Histoire vraie du génie solitaire John Harrisson
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de son temps défiant ainsi tous les plus grand astronomes.
Ce livre se lit comme un roman ! et intéressera également
les non scientifiques.
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T S [pic] [pic] r P ( ( RT