Exercice 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x ex

Exercice 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x ex.
1° Calculer la dérivée de f et en déduire son sens de variation.
2° Déterminer les équations des tangentes à la courbe de f aux points
d'abscisses 0 et 1.
3° Tracer la courbe de f. Exercice 2 Soit f la fonction définie par f(x) = 1° Montrer que pour tout x réel, f(x) =1 -
2° Calculer la dérivée de f et en déduire son sens de variation.
3° Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point
d'abscisse 0.
4° Montrer que pour tout x réel, - 1 < f(x) < 1.
5° Calculer f(- x) + f(x).
Exercice 3 Soit f la fonction définie par f(x) = e2x - 2 ex + 3.
1° Calculer la dérivée de f et en déduire son sens de variation.
2° En déduire les solutions des équations f(x) = 0 et f(x) = 2.
Exercice 4 La courbe ci-contre représente une fonction f définie par
f(x) = (a x + b) e-x.
Elle passe par les points de coordonnées (0 ; 2) et ( - 2 ; 0).
1° Calculer a et b.
2° Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations
de f.
|Exercice 5 On considère la fonction f définie par :| |
| | |
|f(x) = (a x2 + b x + c) e-x où a, b et c sont des | |
|réels. | |
|La courbe représentative de cette fonction est donnée| |
|ci-contre. | |
|On précise que le maximum a pour coordonnées (2 ; 16 | |
|e-2) . | |
|1° En choisissant judicieusement des informations | |
|fournies par le graphique, montrer que a = 4, b = 0 | |
|et c=0. | |
|2° Etudier les variations de f et vérifier que la | |
|courbe fournie est bien conforme au tableau de | |
|variation. | |
3° Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) =1.
A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 10-2 de
chacune d'elles. Exercice 6 On considère une fonction f défraie et dérivable sur [ - 4, 3].
La courbe représentative est donnée ci-contre.
On admet que la courbe possède les propriétés suivantes :
Elle passe par le point A (0 ; 5)
La tangente en A passe par B(- 2 ; 4).
1° Placer les points A et B et tracer la tangente en A à la courbe.
2° Déterminer f(0).
3° Déterminer f '(0).
4° On admet qu'il existe 2 réels a et b tels que f(x) = (a x + b) e-0,5 x
a) Calculer f '(x) en fonction de a et b.
b) Montrer que a = - 2 et b = 5 .
c) Donner des valeurs approchées des solutions de l'équation f(x) = 3 . Exercice 7 Soit f la fonction définie sur par : f(x) = ex - 1- - .
1° Faire apparaître la courbe sur l'écran de la calculatrice.
Que peut-on dire de cette courbe autour du point de coordonnées (0 ; 0) ?
2° Calculer successivement f '(x) ; f ''(x) et f (3)(x) .
3° En déduire les variations et le signe de f "(x) ; f '(x) et f(x)
successivement.
4° Calculer des valeurs approchées de f(0,5) ; f(0,2) ; f(0,1) et f(0,01).
En quoi ces résultats expliquent-ils les observations de la question 1. ?
Exercice 8 Un biologiste observe l'évolution d'une population de
bactéries en milieu fermé.
Il apparaît que le nombre de bactéries à l'instant t peut être modélisé par
la fonction f définie par
f(t) = où t, exprimé en heures, désigne le temps écoulé depuis le début
de la mise en culture.
1° Calculer le nombre de bactéries à t = 0 .
2° Déterminer )) e-0,07 t
En déduire le nombre d'individus de cette population au bout d'une « longue
période ».
3° Montrer que la population ne cesse de croître.
4° Représenter graphiquement le nombre de bactéries en fonction du temps
ainsi que la droite d'équation y = 1000.
5° Déterminer graphiquement et par le calcul le temps au bout duquel la
population aura atteint 900 individus.
Exercice 9 De l'eau bouillante est versée dans un récipient et on
s'intéresse à l'évolution de sa température en fonction du temps. A
l'instant t = 0, cette température est de 100° et elle va se rapprocher de
la température ambiante qui est ici de 20°. La loi de refroidissement nous
dit que la température de l'eau peut être modélisée par la fonction f
définie par f(t) = a + b e-0,1 t où t désigne le temps exprimé en minutes
(le coefficient - 0,1 est lié à la quantité d'eau et à la nature du
récipient).
1° Calculer ))e-0,1 t, en déduire la valeur de a.
2° Donner la valeur de f(0) et en déduire b.
3° Calculer la température de l'eau au bout de 10 minutes, 20 minutes.
4° Combien de temps faut-il pour passer de 100° à 80 ° ? de 80° à 60° ? de
60° à 40° ? (à 1 minute près).
5° Au bout de combien de temps la température sera-t-elle inférieure à 22°
? Exercice 10 Action d'un antiseptique sur une plaie infectée.
Le nombre de bactéries présentes par unité de volume t heures après
application d'un antiseptique peut être modélisé par la fonction f définie
par f(t) =1000 e-0,067 t
1° Déterminer le nombre de bactéries présentes au moment de l'application
de l'antiseptique.
2° Déterminer le nombre de bactéries présentes après 24 heures.
3° Déterminer le nombre de bactéries présentes après 48 heures.
4° On considère que l'antiseptique a agi quand la population bactérienne
est ramenée au dixième de la population initiale. Quelle est la durée
nécessaire à l'action de l'antiseptique ?
Bac 2003 - Antilles
1° On considère la fonction g définie sur [ - 2 ; 2 ] par g(x) = ex - e-x .
a) Calculer des valeurs approchées à 10-2 près de g(- 2) et g(2) .
b) Calculer g(0).
c) Calculer la fonction dérivée de g et montrer que g'(x) > 0 pour tout x
dans [ - 2 ; 2 ].
d) Pour quelles valeurs de x a-t-on g(x) > 0 ?
2° On considère la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par f(x) = ex + e-x .
On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,
\d\ba3());i), \d\ba3());j)) d'unité 3 cm.
a) Montrer que f '(x) = g(x).
b) En déduire le tableau de variation de f.
c) Tracer la courbe représentative de f.
3° La courbe précédente s'appelle une chaînette parce qu'elle correspond à
la forme obtenue lorsqu'on laisse pendre une chaîne maintenue aux deux
extrémités. Galilée pensait que cette courbe devait être une parabole. Nous
allons voir que ce n'est pas le cas.
Soit h la fonction définie sur [ - 2 ; 2 ] par h(x) = a x2 + b .
a) Montrer que h(0) = f(0) et h(2) = f(2) si et seulement si
b) Donner une valeur approchée de a à 10-2 près.
c) En déduire une valeur approchée de f(1) - h(1) à 10-2 près.
d) Conclure. Bac 2004 - Polynésie
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A Pour effectuer un examen médical, on injecte par piqûre
intramusculaire une dose de 3 cm3 d'une substance médicamenteuse dans le
sang d'un malade à l'instant t = 0 (t est le temps exprimé en heures).
Celle-ci passe alors progressivement dans le sang. La diffusion atteint son
maximum au bout d'une heure.
La courbe de l'annexe représente la quantité de substance présente dans le
sang à l'instant t.
1° Construire sur la feuille annexe la tangente à la courbe au point
d'abscisse 2, sachant que son coefficient directeur est égal à (- 0,9).
2° A partir du graphique commenter l'évolution de la quantité de substance
médicamenteuse contenue dans le sang.
3° Pour pouvoir effectuer l'examen, il faut que la quantité de substance
médicamenteuse présente dans le sang soit supérieure ou égale à 0,5 cm3.
Déterminer graphiquement de combien de temps on dispose pour faire cet
examen.
Partie B On a injecté par piqûre intraveineuse 1 cm3 de médicament à un
malade à l'instant t = 0. La substance se répartit immédiatement dans le
sang et elle est ensuite progressivement éliminée. Expérimentalement, on
montre que la quantité q(t) de substance présente dans le sang à l'instant
t est donnée par la relation q(t) = e-0,15 t où t est exprimé en heures.
1° Quel volume de ce produit reste-t-il au bout de 90 minutes ?
2° Quel volume de ce produit le malade a-t-il éliminé au bout d'une demi-
heure ? d'une heure ?
3° On donne q' (t) = - 0,15 e-0,15 t où q' désigne la fonction dérivée de
la fonction q.
Etudier les variations de la fonction q sur l'intervalle [0 ; 9] puis
tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal en prenant
pour unités 2 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées.
[pic] Exercice 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x ex. 1° Calculer la
dérivée de f et en déduire son sens de variation.
| f '(x) = 1 ex + x ex = ex (x + 1) |x |
|f '(x) 0 x + 1 0 x - 1 car ex est | |
|toujours positif. |- 1 |
|2° Déterminer les équations des tangentes à | |
|la courbe de f aux points d'abscisses 0 et | |
|1. |f '(x) |
|f(0) = 0 et f '(0) = e0 (0 + 1) = 1 donc |- |
|l'équation est : |0 |
|y = 0 + 1 (x - 0) c'est à dire y = x |+ |
| | |
| |f(x) |
| |0 |
| |