Année académique 1999-2000

Année académique 1999-2000 Première Candidature
Option Economie
Ingénieur de gestion
Option Sciences Politiques et Communication Probabilité : corrigé des exercices
Quatrième séance ERRATUM Dans le troisième corrigé, dernier exercice, tirage sans remise : [pic] Exercice 6.8
Il faut déterminer la valeur de la constante k. Nous savons que : k [ log5 + log20 + log30 + log50]=1
( 5.176k = 1
( k = 0.1932
a) Distribution de probabilités du nombre de personnes au concert :
|X |fX(x) |FX(x) |X fX(x) |
|5 000 |0.1350 |0.1350 |675 |
|20 000 |0.2514 |0.3864 |5 028 |
|30 000 |0.2854 |0.6718 |8 562 |
|50 000 |0.3282 |1.0000 |16 410 |
|Total |1.0000 | |30 675 | b) [pic] d) Le producteur du concert a intérêt à organiser ce concert uniquement si
l'espérance mathématique du profit qu'il peut en attendre est positive.
Si Y= profit, alors Y = 500X - 100X - 6 000 000 - 2 000 000 = 400X - 8 000 000
Grâce aux propriétés de l'espérance mathématique, nous savons que :
E(Y) = 400 E(X) - 8 000 000 = 4 270 000 francs L'espérance mathématique du profit étant positive, il est intéressant
d'organiser ce concert. Exercice 6.9 a) Définissons les événements suivants :
G : les points obtenus aux deux lancers sont identiques,
S : un des deux lancers amène un " 6 ".
Soient les variables aléatoires suivantes :
X : " gain brut du participant au jeu ",
Y : " gain net du participant au jeu ".
On a : Y = X - 50 (déduction du coût de participation au jeu). On trouve que :
- Pr(X=200) = Pr(Y=150) = 6/36 ; en effet, l'événement G se réalise si
un des couples suivants est observé suite aux deux lancers : (1,1), (2,2),
(3,3), (4,4), (5,5) ou (6,6). Or chaque couple de points a une probabilité
de 1/36 (1/6 * 1/6) Pr(G) = 6/36.
- Pr(X=20) = Pr(Y=-30) = 10/36 ; en effet, l'événement S se réalise si
un des couples suivants est observé suite aux deux lancers : (6,x) ou (x,6)
avex x 6. Or chacun de ces couples a une probabilité de 5/36 (5/6 * 1/6)
Pr(S) = 2 * 5/36 = 10/36.
- Pr(X=0) = Pr(Y=-50) = 1 - Pr(G) - Pr(S) = 20/36.
On peut donc dresser le tableau des distributions de probabilité de X et de
Y : |X |Y |Pr(X=x) = |X Pr(X=x) |
| | |Pr(Y=y) | |
|0 |-50 |20/36 |0 |
|20 |-30 |10/36 |200/36 |
|200 |150 |6/36 |1200/36 |
|Total| |1 |1400/36 = |
| | | |38.89 |
b) E(X) = [pic].
On s'attend, en moyenne, en participant à ce jeu à obtenir un gain brut de
38.89 francs. Comme le droit de participation au jeu s'élève à 50 francs,
l'espérance de gain net relatif à ce jeu est négatif (il vaut E(X) - 50 =
-11.11 francs). Il n'est donc pas intéressant d'y participer. c) Le joueur serait prêt à participer à ce jeu tant que le coût de
participation ne dépasse pas 38.89 francs, c'est-à-dire tant que
l'espérance mathématique du gain net n'est pas négative. d) Le jeu ainsi modifié peut être représenté par le schéma suivant : | | | | |Coût de | |
| | | | |participat| |
| | | | |ion | |
| | | | | | |
|Premier | |6 | | | 6 |
|lancer | | | | | |
| | | | | | |
|Second |6 | | 6 | |Stop |
|lancer | | | | | |
| | | | | | |
|Gain brut |180 | |20 francs| |0 franc |
| |francs | | | | | Définissons les événements suivants :
E1 : le premier lancer du dé amène un 6,
E2 : le second lancer du dé amène un 6.
On peut calculer les probabilités associées à la variable aléatoire Z,
"Gain brut du participant à ce nouveau jeu" : Pr(Z=180) = Pr (E1 E2) = 1/6 * 1/6 = 1/36,
Pr(Z=20) = Pr([pic]) = 1/6 * 5/6 = 5/36,
Pr(Z=0) = Pr([pic])=5/6, et E(Z) = (0 * 5/6) + (20 * 5/36) + (180 * 1/36) = 7.78 francs. Il devient
donc intéressant de jouer à ce nouveau jeu dès que le coût de participation
est inférieur ou égal à 7.78 francs. Exercice 6.32
a) Soit l'événement A, l'électricien accepte le lot.
On cherche p([pic]) = 1 - p(A).
Or, vu la loi des probabilités totales,
p(A) = p(A|4mauvais)p(4mauvais) + p(A|1mauvais)p(1mauvais)
En outre, on se trouve en présence d'une loi hypergéométrique, de sorte que p(A|4mauvais) = [pic] = 0.1667 loi hypergéométrique (3, 10, 4)
p(A|1mauvais) = [pic] = 0.7 loi hypergéométrique (3, 10, 1)
Dès lors, p(A) = 0.1667*0.3 + 0.7*0.7 = 0.54.
Donc, 46 % des paquets (1-0.54) sont refusés. b) Il s'agit d'une hypergéométrique(3, 10, i).
Le pourcentage de lots à i composantes défectueuses rejeté par l'acheteur
se calcule comme suit : 1 - [pic]= 1 - [pic] = 1 - [pic].
Quand i = 1, on a 0.3.
Quand i = 2, on a 0.5333.
Quand i = 3, on a 0.7083.
Quand i = 4, on a 0.8333.
c) On cherche p(4mauvais|[pic]) = [pic] car p([pic]|4mauvais) = 1 - p(A|4mauvais) = 1 - 0.16667 = 0.8333. Exercice 6 « Accidents d'avion »
Soit X = nombre d'accidents d'avion par mois X~Po(3.5) [pic]
Exercice 11 « Contrôle de qualité » Soit X = le nombre de boîtes qui doivent être remboursées X~Bi(3, ?) On ne connaît pas la probabilité qu'une boîte doive être remboursée. Par
contre, on sait qu'une boîte est remboursée si elle contient plus d'une
disquette défectueuse. Il suffit donc de calculer la probabilité qu'il y
ait plus d'une disquette défectueuse dans une boîte pour connaître la
probabilité qu'une boîte doive être remboursée. Soit Y = nombre de disquettes défectueuses dans une boîte Y~Bi(10, 0.01) On cherche Pr(Y>1) = 1 - Pr(Y=0) - Pr(Y=1) [pic]
Donc, Pr(Y>1) = 1 - 0.9044 - 0.0914 = 0.0042 (la probabilité qu'une boîte
doive être remboursée est de 0.42% X~Bi(3, 0.0042) a) Pr(X(1) = 1-P(X=0)
[pic] Pr(X(1) = 1- 0.9875 = 0.0125 [pic] Question 4 Examen Juin 1999
Soit X = le nombre de pièces mal embouties dans un lot de 200, avec 0,025 =
5/200, la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock soit mal
emboutie. X ~Bi(200 ; 0,025) et la commande est refusée si X ( 6. a) Pr(X ( 6) = 1 - Pr(X ( 5) Pr(X = 0) = [pic]
Pr(X = 1) = [pic]
Pr(X = 2) = [pic]
Pr(X = 3) = [pic]
Pr(X = 4) = [pic]
Pr(X = 5) = [pic] Donc Pr(X ( 6) = 1 - Pr(X ( 5) = 1 - [pic]=1 - 0,6159699 = 0,3840301 Il est également possible de résoudre le problème par l'approximation de
Poisson de la distribution binomiale puisque n(50 (ici, n=200) et n((5 (ici
n( = 200*0.025=5) Dans ce cas, on considère X ~Po(5) Pr(X = 0) = [pic] ; Pr(X = 1) = [pic] ;
Pr(X = 2) = [pic] ; Pr(X = 3) = [pic] ;
Pr(X = 4) = [pic] ; Pr(X = 5) = [pic]
On trouve ces probabilités directement dans la table de la loi de Poisson.
Donc Pr(X ( 6) = 1 - Pr(X ( 5) = 1 - [pic]=1 - 0,6159606 = 0,3840394
b) On va chercher l'espérance mathématique du coût des refus de commande
sur un ensemble de trois commandes puisque c'est ce nombre de commandes
qu'assure la compagnie. On sait (cfr supra) que la probabilité qu'une commande soit acceptée =
0,616.
Soit X = le nombre de commandes refusées sur un ensemble de 3 commandes.
X~Bi(3 ; 0,384). On établit la distribution de probabilité de X : |i |Pr (X= i) |Coût (c(i)) |
| | | |
|0 |[pic] |0 |
|1 |[pic] |1000 |
|2 |[pic] |2000 |
|3 |[pic] |3000 | L'espérance mathématique du coût des refus sur 3 commandes est :
E(c) = [pic]= 0 + 437,1333 + 544,9974 + 169,8693 = 1152 Donc E(c) = 1152 < prime d'assurance = 1200 La bonne décision sera de NE PAS s'assurer. Question 4 Examen Août 1999 Soit X = nombre d'obstacles ratés
X~Bi(16, 0.06) [pic]