Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

PSTMG1-2 Corrigé DS commun n° 2

Exercice 1 : ( 4 points)

1) Les nombres 2 ; 4 ; 7 sont, dans cet ordre, des termes successifs d'une
suite :
4 - 2 = 2 7 - 4 = 3 et . La différence de deux termes consécutifs n'est
pas constante donc la suite n'est pas arithmétique, le quotient de deux
termes consécutifs n'est pas constant donc la suite n'est pas géométrique.

2) (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = - 2 et de raison r
= 3 alors u4 = - 2 + 43 = 10


3) (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 2000 et de raison q
= 0,95 alors la suite est décroissante car u0 > 0 et 0 < q < 1

4) (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. Si u1
= 5 et u2 = 2 alors q = = = 0,4


5) Dans un repère, une suite (quelconque) est représentée par des points
d'abscisses entières.

6) Si un = 5 - 2n, alors (un) est une suite arithmétique de raison - 2 et
de premier terme 5

7) Dans un placement à intérêts composés de 3,5 % par an les capitaux
disponibles au bout d'un an, deux ans..., n ans, notés C1, C2, ..., Cn,
sont des termes successifs d'une suite géométrique de raison 1,035.


8) (un) est une suite arithmétique telle que u3 = 38 et u9 = 110, on note
r sa raison et u0 son premier terme alors u9 = u3 + 6r donc r = = = =
12
De plus, u3 = u0 + 3r donc u0 = u3 - 3r = 38 - 312 = 2 donc u0 = 2 et r =
12


Exercice 2 : ( 4 points)

On considère l'algorithme ci-contre : - Entrer un nombre entier n.

- Ajouter 8.
-
Multiplier par 0,9.

- Retrancher 4.
-
Ecrire le résultat final.

Lorsque le nombre entré est l'entier naturel n, on note un le résultat
final.
1) u1 = (1 + 8) 0,9 - 4 = u2 = (2 + 8) 0,9 - 4 = et u3 = (3 + 8) 0,9
- 4 =

2) Dans la feuille de calcul ci-dessous, on veut calculer les termes de la
suite.
|A |B |C |D |E |F |G |H |I |J |K |L | |1 |n |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9
|10 | |2 |un |3,2 | | | |6,8 |7,7 |8,6 |9,5 |10,4 |11,3 |12,2 | |
La formule à placer dans la cellule B2 est

3) 0,9 - 4)

4) a) La différence entre deux termes consécutifs est constante et est
égale à 0,9 donc un+1 = un + 0,9
b) (un) semble être une suite arithmétique de premier terme u0 = 3,2 et de
raison 0,9 donc un = 3,2 + 0,9n
En développant l'expression trouvée dans la question 3), on a : un = 0,9n +
80,9 - 4 = 0,9n + 7,2 - 4
On retrouve

Exercice 3 : ( 5 points)

1) En fin d'année 2007, Célia place 3000 E à intérêts simples au taux
annuel de 3,5 %. Chaque année, le capital de 3000 E produit le même montant
d'intérêts et à chaque fin d'année, ces intérêts s'ajoutent sur le compte.
a) Les intérêts sont constants et égaux à I = 3,5;100)) = 105


b) On note Cn le capital acquis au 1er janvier de l'année 2008 + n, après
avoir reçu les intérêts.
Ainsi C0 = 3000.
C1 = C0 + 105 donc , C2 = C1 + 105 donc et C3 = C2 + 105 donc

c) On passe d'un terme au suivant en ajoutant 105, soit encore Cn+ 1 = Cn +
105


2) En fin d'année 2007, Léo place 3000 E à intérêts composés au taux annuel
de 3 %. Chaque fin d'année, les intérêts produits durant l'année viennent
s'ajouter au capital : le capital grossi des intérêts va donc produire des
intérêts.
On note Kn le capital acquis au 1er janvier de l'année 2008 + n, après
avoir reçu les intérêts.
Ainsi K0 = 3000.
a) A une augmentation de 3 % correspond un coefficient multiplicateur égal
à 1 + = 1,03
K1 = 1,03 K0 = 1,033000 donc , K2 = 1,03 K1 = 1,033090 soit
puis K3 = 1,03 K2 = 1,033182,7 soit 3278,18)

c) On passe d'un terme au suivant en multipliant par 1,03, soit encore Kn+
1 = 1,03 Kn


3) a) 2008 + n = 2013 n = 5. C5 = C3 + 2105 = 3315 + 210 = 3525


b) K5 = 1,031,03 K3 1,03² 3278,18 3477,82


c) C15 = C0 + 10515 = 3000 + 1575 = 4575
K15 = 1,0315 K0 = 1,0315 3000 4673,90
alors que celui de Célia est plus avantageux si la somme est placée 5 ans.


Exercice 4 : ( 7 points)

Une agence immobilière propose à ses employés deux types de
rémunérations mensuelles brutes différents.
Proposition B : le salaire fixe s'élève à 1900E et chaque vente rapporte
400E.
Proposition C : le salaire fixe s'élève à 1900E et chaque vente permet une
augmentation de salaire de 15 %

On note Bn le salaire obtenu avec la proposition B
et Cn le salaire obtenu avec la proposition C pour n ventes réalisées.

1) a) Le salaire fixe s'élève à 1900E et chaque vente rapporte 400E donc B1
= 1900 + 400 soit .
b) Le salaire fixe s'élève à 1900E et chaque vente rapporte 400E
donc Bn+1 = 1900 + 400(n + 1) et Bn = 1900 +400n donc
c)

2) a) Le salaire fixe s'élève à 1900E et chaque vente permet une
augmentation de salaire de 15 %
Donc C1 = 1900 ) soit .
b) Chaque vente permet une augmentation de salaire de 15 % donc Cn+1 = ) Cn
soit
c)

3) a) Dans la cellule A3, on peut écrire :
b) Dans la cellule B3, on peut écrire :
c) En cliquant dans la cellule B7, on obtient
d) Dans la cellule C3, on peut écrire :
e) En B9, on a : 4300 + 400 = et en C8, on a : 38221,15
f)
D'après les valeurs données dans le tableau, entre 1 et 5 biens immobiliers
vendus, la proposition B est plus intéressante, entre 6 et 10 biens
immobiliers vendus dans le mois, la proposition C est la plus intéressante.

4) a) Cet algorithme permet de calculer les salaires selon la proposition
C jusqu'à ce que le salaire dépasse 10000 E. Quand le salaire dépasse
10000E, la boucle s'arrête et on affiche la valeur de n, nombre minimal de
ventes réalisées par mois permettant d'obtenir un salaire supérieur à
10000E.
b) A l'aide de la calculatrice, on trouve, C11 8840 et C12 10166