MATHEMATIQUES

Baccalauréat de l'enseignement général
Madagascar
Session 2011
MATHEMATIQUES - Série : C
N.B : - L' exercice et les DEUX Problèmes sont obligatoires.
- Machine à calculer scientifique non programmable autorisée EXERCICE (4
points) A- Probabilité
corrigé
On dispose d'un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées : 0,
1, 1, 2, 2 et 2.
1- On lance une fois ce dé. Calculer les probabilités P0 , P1, P2
d'apparition respective des faces
numérotées 0, 1, 2. (0,25pt x3)
2- Une épreuve consiste à lancer trois fois de suite ce dé et d'une
manière indépendante.
On note chaque fois le numéro obtenu sur la face supérieure de ce
dé.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « La somme des numéros obtenus est égale à 4 ».
(0,25pt)
B : « Obtenir exactement deux fois le numéro 1 ». (0,5pt)
C : « Obtenir chacun des trois numéros différents lors des 3
lancers ». (0,5pt)
NB : on donnera les résultats sous forme de fraction
irréductible
B- Arithmétique corrigé
1- a) Convertir dans la base 10 l'entier a écrit dans le système
binaire : a = [pic]. (0,25pt)
b) Convertir dans le système binaire l'entier naturel b = 54 de la
base 10. (0,25pt)
2- a) Dresser la table d'addition et de multiplication de Z/ 5Z.
(0,25pt+0,25pt)
b) Résoudre dans Z/ 5Z x Z/ 5Zle système :
[pic] (0,5pt)
c) Résoudre l'équation : [pic] dans Z/ 5Z.
(0,5pt) PROBLEME 1 (7 points)
corrigé
ABEC est un losange de centre 0 dans un plan orienté ( P ) tel que
AB = AC = BC = 4 cm et [pic]
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A :
1- Reproduire cette figure en vraie grandeur. ( 0,5pt)
2 - a) On considere le système de points pondérés J=[pic].
Montrer que ce systéme admet un barycentre G et que G est le milieu du
segment [OA] (0,25pt+0,25pt) b) Montrer que le vecteur [pic]2[pic]+[pic]+[pic] où M est un point
variable, est un vecteur
constant que l'on déterminera.
(0,5pt)
(0 ;5)
c) Déterminer et représenter l'ensemble (D) des points M
du plan (P) vérifiant :
([pic]+[pic]+[pic]) ([pic][pic]+[pic]+[pic]) = 0
(0,5pt)
3 - Soit S la similitude plane directe de rapport [pic], d'angle [pic] et
qui transforme A en B.
On note I le centre de S et I' son image par la symétrie centrale SB
de centre B.
a) Montrer que le triangle IAI' est un triangle équilatéral de sens
direct. (0,5pt)
b) Montrer que ([pic],[pic]) = [pic] (0,5pt)
c) Placer alors les points I et I' (0,5pt)
Partie B : Utilisation des nombres complexes.
On rapporte le plan (P) au repère orthonormé direct (A,[pic]) avec
[pic][pic] ([pic]).
1-a) Donner les affixes [pic] et [pic] respectives de A et B.
(0,25pt + 0,25pt)
b) Donner le module et un argument de l'affixe [pic] de C et en
déduire l'affixe [pic] sous forme
algébrique. (0,25pt + 0,25pt +
0,25pt)
c) Calculer l'affixe [pic] de O. (0,25pt)
2-a) Donner l'expression complexe de la similitude directe S de
rapport [pic] et d'angle[pic],
qui transforme A en B. (0,5pt)
b) En déduire l'affixe [pic]du centre I de S.
(0,5pt)
c) Vérifier que [pic] est un nombre réel et que [pic] est
imaginaire pur. (0,25pt+0,25pt) d) Que peut- on en déduire pour les points I, O et A d'une part et pour
les droites (IB) et
(AB) d'autre part. (0,25pt+ 0,25pt)
PROBLEME 2 ( 9 points)
corrigé Soit [pic] la fonction numérique définie sur IR par : [pic]. On
désigne par (C) sa courbe
représentative dans un repère orthonormé (0,[pic]) d'unité 2cm. Partie A : Etude de la fonction f. 1- Calculer [pic] et [pic] (0,25pt + 0,25pt)
(Pour la limite en +[pic], poser X=[pic])
2- a) Etudier les variations de f. (0,75pt)
b) Montrer que la droite (D) d'équation [pic] est asymptote à (C),
(0,75pt)
c) Montrer que l'équation [pic]= 0 admet pour solutions O et
[pic] dans IR et 2