TD EM1 : Champ électrostatique - PCSI-PSI AUX ULIS

TD EM1 : Champ électrostatique




But du chapitre

. Découvrir la notion de champ électrostatique
. Déterminer le champ électrostatique créé par une distribution donnée
de charges.




Plan prévisionnel du chapitre

I - Interaction électrique et charge
1°) Charges électriques
2°) Interaction entre deux particules chargées fixes
3°) Notion de champ électrostatique
4°) Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
5°) Principe de superposition
II. - Champ créé par une distribution continue de charges : application du
principe de superposition
1°) Distributions de charges électriques
2°) Distribution volumique de charge
3°) Distribution surfacique de charge
4°) Distribution linéique de charges
III - Invariances et symétries
1°) Position du problème
2°) Principe de Curie
2°) Invariances
3°) Symétries
IV - Théorème de Gauss
1°) Flux du champ électrostatique
2°) Expression du théorème de Gauss
V - Lignes et tubes de champ


Savoirs et savoir-faire

Ce qu'il faut savoir :
. La loi de Coulomb.
. Les intégrales donnant le champ électrostatique créé par une
distribution de charges.
. Les propriétés de symétrie du champ électrostatique.
. Le théorème de Gauss (pour le champ électrostatique et pour le champ
gravitationnel).
Ce qu'il faut savoir faire :
. Déterminer la direction d'un champ électrostatique, à partir des
symétries de la distribution de charges.
. Déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes du champ à
partir des invariances de la distribution de charges.
. Calculer un champ électrostatique par intégration directe.
. Calculer un champ électrostatique en utilisant le théorème de Gauss.

Erreurs à éviter/ conseils :
. Pour donner une information sur la direction du champ électrique en un
point donné, les plans de symétrie/antisymétrie utilisés doivent
passer par ce point.
. Ne pas confondre l'utilisation des plans de symétrie (pour déterminer
la direction du champ, donc ses composantes) et l'utilisation des
invariances (pour déterminer les coordonnées donc dépendent les
composantes du champ).
. Il faut alors exprimer clairement les résultats : on peut dire par
exemple qu'un champ est porté par [pic], ou bien que ses composantes
dépendent de r, mais l'expression « le champ dépend de [pic] » ne veut
rien dire !

Pour effectuer un calcul direct de champ électrique, déterminer
d'abord la direction du champ, pour avoir une seule composante à
calculer au lieu de trois.


Dans le cas d'une invariance par rotation, il est faux de dire que le
champ ne dépend pas de l'angle (?) : ce sont ses composantes (donc
aussi sa norme) qui ne dépendent pas de ?, mais le champ lui-même
dépend de ? puisqu'il tout-ne avec le vecteur unitaire ([pic]).


Bien choisir une surface fermée pour appliquer le théorème de Gauss :
un cylindre infini, par exemple, n'est pas une surface fermée ; en
revanche un cylindre de longueur finie et fermé par deux bases
convient.





Applications du cours

Application 1 : Déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes
du champ électrostatique
Rechercher les invariances des distributions de charges suivantes puis
choisir le bon système de coordonnées et déterminer celles dont dépend le
champ électrostatique.
1°) Un fil rectiligne de longueur infinie chargé uniformément.
2°) Une sphère uniformément chargée en volume.
3°) Un plan infini uniformément chargé en surface.

Application 2 : Déterminer la direction du champ électrostatique en un
point donné de l'espace
Dans chacun des cas suivant, préciser la direction du champ électrostatique
en M.
1°) La distribution de charge est un fil rectiligne de longueur infinie
chargé uniformément. Le point M est placé en un point quelconque de
l'espace situé à l'extérieur du fil.
2°) La distribution de charge est un fil rectiligne de longueur L = AB, de
milieu O, qui porte une charge uniformément répartie avec une densité
linéique de charge ?. On s'interesse au champ créé en M un point quelconque
du plan médiateur du segment [AB].
3°) La distribution de charge est une sphère uniformément chargée en
volume. Le point M est un point quelconque de l'espace.
4°) La distribution est un doublet électrostatique qui consiste en deux
charges de signes opposés séparées par une distance a. On note N la
position de la charge - q et P la position de la charge + q. Le point M
est un point du plan médiateur du segment [NP].

Application 3 : Déterminer le champ électrostatique par la méthode
intégrale
1°) Déterminer l'expression du champ électrostatique créé en P par le
segment de longueur 2a.
[pic]
En déduire l'expression du champ électrique créé en P lorsque le fil est
infini.
2°) Déterminer l'expression du champ électrostatique créé en P par le
disque de rayon R.
[pic]

Application 4 : Flux du champ électrique
Un fil infini uniformément chargé (densité de charge linéique ?) crée en M
un champ électrique
[pic]
Déterminer le flux sortant du cylindre S fermé d'axe (Oz), de hauteur h et
de rayon r.
[pic]
Application 5 : Calculer la charge totale d'une distribution continue
Un disque de rayon R est chargé en surface (densité surfacique ?). Calculez
la charge totale qu'il porte d'abord s'il est chargé uniformément puis dans
le cas ou ? = ar où r est à la distance à son centre et a une constante
positive.

Application 6 : Déterminer le champ électrostatique en utilisant le
théorème de Gauss
1°) On considère une sphère de rayon R qui contient une charge totale Q
uniformément répartie. Exprimer le champ électrostatique [pic] en un point
M extérieur de la sphère et en un point M intérieur à la sphère. On note ?
la densité volumique de charge.
2°) Déterminer le champ électrostatique [pic] créé par un fil
(unidimensionnel) infini de densité de charges uniforme en un point
quelconque M de l'espace n'appartenant pas au fil. On note ? la densité
linéique de charge.
3°) Déterminer le champ électrostatique [pic]créé par un plan infini de
densité de charges uniforme en un point quelconque M de l'espace situé au-
dessus du plan. On note ? la densité surfacique de charge.

Exercices

Exercice 1 : Champ créé par un cercle
On considère un cercle de centre O et de rayon R qui porte une charge
linéique uniforme ?. Calculer le champ créé sur l'axe du cercle qui passe
par O et est orthogonal au plan du cercle.

Exercice 2 : Champ de gravitation
La Terre est assimilée à une sphère de rayon R = 6,37.103 km et de masse m
= 5,97.1024 kg répartie uniformément. On donne G = 6,67.10-11 kg-l.m3.s-2
(constante de gravitation).
1. Calculer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ de gravitation à
l'extérieur de la Terre.
2. Vérifier que l'on obtient le même résultat en considérant que toute la
masse de la terre est concentrée en son centre.
3. Faire l'application numérique pour le champ de gravitation à la surface
de la Terre et comparer avec l'accélération de la pesanteur.

Exercice 3 : Modèle de Thomson
Dans le modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène, la charge qe du noyau est
répartie uniformément dans une sphère de rayon a0 = 50 pm, el l'électron de
charge -qe est considéré comme ponctuel. On donne ?0 = 8,854.10-12 F.m-1,
me =9,1.10-31 kg et qe = 1,6.10-19 C.
1. Calculer la densité volumique ? correspondant à la charge qe.
2. Calculer le champ créé par cette distribution de charge en tout point de
l'espace.
3. On considère l'électron initialement au centre de cette distribution.
Montrer que si on l'écarte d'une distance r (avec r < a0) du centre, il est
soumis à une force de rappel élastique dont on précisera l'expression.
4. Calculer la valeur de cette force pour r = 25 pm.
5. Déterminer le mouvement de l'électron s'il se trouve initialement sur
l'axe (Ox), sans vitesse initiale, a une distance r0 de sa position
d'équilibre (avec r0 < a0).
On considère que l'atome est maintenant placé dans un champ uniforme [pic]
= E0[pic].
6. Montrer que si ce champ reste inférieur à une valeur limite Eomax,
l'électron prend une nouvelle position d'équilibre en restant lié au noyau,
caractérisée par une distance r0.

ANNEXE 1 : Sens et direction du champ électrostatique créé par quelques
distributions de charges
[pic]








ANNEXE 2 : Utiliser le théorème de Gauss
[pic]


ANNEXE 3 : Symétries de quelques distributions de charges

[pic] [pic] [pic]










ANNEXE 4 : Analogie électrostatique - gravitation
[pic]