olympiades academiques de mathematiques 2007 - Mathématiques ...

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2007 Académie de Besançon Durée : 4 heures Le sujet comprend quatre exercices indépendants ; ils peuvent être traités
dans l'ordre voulu.
Les calculatrices sont autorisées.
Recommandations Il est important que vous argumentiez vos affirmations.
Même si vous n'aboutissez pas à la solution complète d'une question, vous
êtes invité à décrire votre recherche et votre démarche, un résultat même
partiel pouvant avoir son intérêt.
De même, si vous découvrez une erreur dans vos résultats ou votre démarche,
il est bon de le signaler et, si possible, de l'expliquer.
Corrigés Vous pourrez consulter les corrigés de ces exercices prochainement en vous
connectant à : http ://catice.ac-besancon.fr/Mathematiques/Olympiades-1S.
Exercice 1 : un problème de tas
On dispose de 7 objets que l'on répartit en autant de tas que l'on veut,
chaque tas contenant autant d'objets que l'on veut. Une manipulation consiste à enlever un objet de chaque tas et à faire un
nouveau tas des objets ainsi récupérés.
Exemple : une répartition possible au départ sera notée (4,3)
elle signifie qu'on a deux tas, l'un de 4 objets et
l'autre de 3 objets
après une manipulation, on obtiendra donc la répartition
(3,2,2) Avertissement : on considère que les répartitions (4,3) et (3,4) sont
identiques.
De même les répartitions (3,2,2), (2,3,2) et (2,2,3) sont
identiques. 1. On place les 7 objets en un seul tas ; la répartition est donc (7).
Quelle répartition obtiendra-t-on après 3 manipulations ? Après 7
manipulations ? Après 11 manipulations ? Après 2007 manipulations ?
2. Ici, on ne connaît pas la répartition initiale, mais après 2007
manipulations, on obtient la répartition (4,2,1).
Indiquer toutes les répartitions initiales possibles.
3. Paul et Virginie jouent ensemble.
Au départ, Paul dispose les objets sans montrer la répartition à
Virginie.
Puis il simule sur son ordinateur 2007 manipulations et ne montre à
Virginie que la répartition finale. Il demande alors à Virginie de
deviner la répartition initiale.
Virginie réfléchit et avoue ne pas savoir répondre car elle hésite entre
trois répartitions.
Sachant que Virginie a raisonné correctement, quelle répartition finale a-
t-elle vue ? Exercice 2 : des trapèzes de même aire Le but de cet exercice est de déterminer les trapèzes rectangles qui,
sous certaines conditions de distances et d'angles, sont partagés en deux
trapèzes de même aire par une parallèle donnée à leurs bases.
1. Question préliminaire :
Existe-t-il un couple d'entiers naturels [pic] tel que : [pic] ?
En existe-t-il plusieurs ?
(Le résultat de cette question peut être exploité dans la suite de
l'exercice, selon la méthode utilisée pour la traiter). 2. On considère les trapèzes rectangles [pic] de bases [pic] et [pic]
tels que :
. [pic]
. les distances AB, AD et CD sont des nombres entiers, et
AD>2.
Soit [pic] le point du segment [pic] tel que [pic]
D C
M
N A
B Déterminer les distances AB, AD et CD de sorte que les aires des
trapèzes MNBA et MNCD soient égales.
Indication : On pourra faire apparaître sur la figure des
triangles isocèles. Exercice 3 : le jardin Mon jardin est un rectangle ABCD. J'y ai planté un arbre avec un tronc très
fin.
Mon arbre est situé exactement à 4 mètres de A, à 5,1 mètres de B et à 7,5
mètres de C. A quelle distance de D se trouve-t-il ? Exercice 4 : les dés On appelle dé-numérique un dé à six faces, sur lesquelles sont écrits six
chiffres différents pris parmi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ou 9), 7, 8. On dit que deux dés-numériques sont semblables s'ils vérifient les deux
conditions suivantes :
o Les six chiffres écrits sur le premier dé sont les mêmes que les six
chiffres écrits sur le second.
o Lorsqu'on pose les deux dés sur une face ayant le même chiffre, on lit
sur la face opposée deux chiffres identiques, et ceci quelle que soit
la face sur laquelle on pose les dés.
Enfin, on dit que deux dés-numériques sont distincts s'ils ne sont pas
semblables.
1. Combien existe-t-il de dés-numériques distincts dont les faces sont 1,
2, 3, 4, 5, 6 ?
2. Montrer que l'on peut construire deux dés-numériques qui, placés l'un
contre l'autre, permettent d'obtenir toutes les dates d'un mois
quelconque de l'année :
01, 02, 03, ..., 29, 30, 31.
On énumérera les chiffres portés par les faces de chacun des deux dés.
3. Combien existe-t-il de paires de dés-numériques possédant la propriété
de la question précédente ? (On considère que deux paires sont identiques
lorsque les deux dés de la première paire sont semblables aux deux dés de
la deuxième paire.)
4. Déterminer le plus grand entier N tel que l'on peut obtenir tout entier
inférieur ou égal à N, à l'aide de deux dés-numériques.