Triangles rectangles en seconde - Descartes et les Mathématiques

Triangles rectangles


Configuration du plan en seconde : droites remarquables du triangle
rectangle.


Sommaire


Théorème de Pythagore
Relations métriques
Prototype : marquer un angle droit


1. Construire un triangle rectangle
2. Bissectrice
3. Bissectrices
4. Droites des milieux
5. Médiane et hauteur
6. Moyennes proportionnelles
7. Médiatrice d'un côté du triangle orthique


Problèmes de construction

Construire un triangle rectangle connaissant :
a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit
b. l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit
c. la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse



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Document n° 70, réalisé le 23/6/2004, modifié le 3/5/2012



Exemples d'exercices pouvant être résolus en classe de seconde avec les
configurations fondamentales


Pour les triangles il s'agit de savoir mettre en ?uvre :
- les propriétés des droites remarquables,
- la droite des milieux et le théorème de Thalès,
- les propriétés des angles et des aires des triangles,
- les propriétés des triangles rectangles et l'inscription dans un demi-
cercle.

En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement
de deux propriétés remarquables.

Triangle rectangle - Définitions


Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et
complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.


Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème du à Thalès


Théorème de Thalès sur le cercle :
Un angle inscrit dans un demi-cercle, chacun des côtés passant par une des
extrémités du demi-cercle, est droit.
Un triangle inscrit dans un demi-cercle (un côté étant le diamètre) est un
triangle rectangle.


Le demi-cercle, dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle rectangle,
est le cercle de Thalès du triangle rectangle. Dans un triangle rectangle,
la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de
la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement : si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à
la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.


Démonstration de Thalès


Soit ABC un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O.


Deux côtés du triangle OAC sont des rayons, OAC est isocèle et les angles
en A et C sont égaux : OÂC = ACO.
De même, OCB est isocèle et OBC = OCB


En sommant ces deux égalités, il vient : OÂC + OBC = ACO + OCB = ACB.


Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient pour les angles
du triangle ABC
(OÂC + OBC) + ACB = 2 ACB = 180°.


Puis en divisant par 2, on obtient ACB = 90°.
Le triangle est donc bien rectangle en C.


Démonstration de la réciproque


Si ABC est un triangle rectangle en C, alors il s'inscrit dans un cercle de
diamètre [AB]

On trace la droite des milieux, passant par le milieu O de [AB] et le
milieu B' de [AC].
Elle est parallèle à (BC). Comme (BC) et (AC) sont perpendiculaires, il en
est de même de (OB') et (AC). (OB') est donc la droite perpendiculaire à
[AC] passant par le milieu de [AC], c'est la médiatrice de [AC].
De même, on démontre que la droite passant par O et par A' milieu de [BC]
est la médiatrice de [BC].
Ces deux médiatrices se coupent en O, milieu de [AB], qui est donc le
centre du cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit a bien pour diamètre [AB].
Démonstration de la réciproque - Doublement du triangle rectangle par
symétrie

|Rectangle |Triangle isocèle |
|[pic] |[pic] |
|D est le symétrique de C par rapport |D est le symétrique de A par rapport au |
|au point O milieu de [AB]. |point C. |
|ACBD est un rectangle ; ses diagonales|ABD est un triangle isocèle de médiatrice|
|sont de même longueur et se coupent en|(CB). C est le milieu de [AD] et (OC) est|
|leur milieu : |la droite des milieux : |
|CO = [pic]CD = [pic]AB. |CO = [pic]DB = [pic]AB. |


Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés
de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et
réciproquement.

Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle a2
+ b2 = c2.


Preuve utilisant la méthode des aires grâce à la similitude du grand
triangle rectangle ABC avec les triangles rectangles ACH et BCH formés par
les petits côtés et la hauteur (CH) abaissée sur l'hypoténuse :
L'aire du grand triangle est la somme des aires des deux petits. Pour des
triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux
carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand est
égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits.


Triangles rectangles particuliers


« Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs » : le triangle
rectangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité. Avec une corde à 13
n?uds ou « corde égyptienne », les Anciens s'en servaient comme équerre,
entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.


« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°,
de côtés (1, 1, ), obtenu en divisant un carré en deux suivant une
diagonale, d'où le nom du triangle.



Relations métriques


Similitude de triangles


Les triangles rectangles CAB, HAC et HCB sont semblables.


Carré de la hauteur CH


Soit [CH] la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle
rectangle ABC.
De la similitude des triangles rectangles BCH et CAH, en étudiant les
rapports des petits côtés, on trouve :
HC/HA =HB/HC d'où HC2 = HA × HB.


Théorème de Thalès suisse : la hauteur issue de l'angle droit est la
moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur
l'hypoténuse.
Réciproque : si H est entre A et B et HC2 = HA × HB alors ABC est rectangle
en C.


Carré d'un petit côté


Un côté de l'angle droit (cathète) est moyenne proportionnelle entre
l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.


AC2 = AH × AB
et BC2 = BH × BA
BC2 = BH × BA se démontre en 1S avec le produit scalaire


ou en seconde avec la similitude des triangles rectangles BAC et BCH, en
étudiant les rapports des côtés issus de B :


BC/BA = BH/BC.


Réciproque : si H est entre A et B et BC2 = BH × BA alors ABC est rectangle
en C.



Mémorisation


Il y a trois formules de moyennes géométriques dans le triangle ABC
rectangle en C, de hauteur [CH] :


AC2 = AB × AH,
BC2 = BA × BH,
HC2 = HA × HB.


Le point C mis à part, nous choisissons arbitrairement un des points A, B
ou H et nous le plaçons en tête de chacun des trois termes qui
interviennent. Il ne reste plus qu'à compléter avec les deux autres points
restants.


De la similitude des triangles ABC et ACH on a :


AC/AB = AH/AC d'où AC2 = AB × AH (première moyenne géométrique).


CH/BC = AB/AC d'où AC × BC = AB × CH (formule des aires ci-dessous).


Calcul de l'aire


Le calcul de l'aire du triangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se
fait de deux façons et on a : Aire(ABC) = [pic]AB × CH = [pic]ch comme ci-
contre à gauche et Aire(ABC) = [pic]CA × CB = [pic]ba comme ci-contre à
droite.


D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathète
est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle
droit.



Quotient des carrés des petits côtés : [pic]


Calcul de l'inverse du carré de la hauteur CH
Des expressions du double de l'aire CH × AB = CA × CB on trouve CH2 =[pic]
et avec Pythagore AB2 = CA2 + CB2 en calculant l'inverse,
on a : [pic]

Relations trigonométriques


sin  = BC/AB, cos  = AC/AB, tan  = BC/AC. cos2 + sin2 = 1.


Hauteur

CH = AC sin Â, AC = AB sin B d'où CH = AB sin  sin B.
Si h = CH et AB = c alors h = c sin  sin B.

Marquer un angle ou un angle droit (Prototypes GéoPlan pour le professeur)
Contrairement à Cabri, GéoPlan ne sait pas tracer la marque d'un angle.

Sur les côtés [OA] et [OB] d'un angle AÔB sont placés deux points A1 et B1
à une distance tail = 0,2 unité du point O.
Le prototype marquer un angle trace l'arc de cercle de centre O et
d'extrémités A1 et B1 (de A1 vers B1 dans le sens trigonométrique).

Le prototype marquer un angle droit crée une ligne brisée A1O1B1 en
fabriquant un polygone A1O1B1O1.

Le point O1 milieu de la ligne brisée ne sera créé par une translation de
vecteur [pic]uniquement lorsque l'angle t = AÔB est égal à 90°.

Pour cela il utilise la fonction µ :
O1 image de B1 par la translation de vecteur vec(O,A1)/µ(abs(t-90)