Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1- TS2 Correction du DEVOIR
MAISON N°1 Exercice 1 : La fonction f est définie par f(x) = .
1) x² - 1 = 0 [pic] x = - 1 ou x = 1 donc f est une fonction
rationnelle définie sur Df = IR \ {- 1 ; 1}.
2) Pour tout x Df, x + - = [pic]
= [pic]= f(x)
|x |- [pic] - 1 |
| |1 + [pic] |
|x² - 1| + 0 - |
| |0 + |
3) [pic]x3 + 9 = (- 1)3 + 9 = 8 Le tableau de signes donne :
donc[pic]x² - 1 = 0+ et [pic]x² - 1 = 0-
Ainsi, [pic]f(x) = +[pic] et [pic]f(x) = - [pic]
Cf admet donc une asymptote verticale d'équation x = - 1.
De manière analogue, on montre que [pic]f(x) = -[pic] et [pic]f(x) = +
[pic].
Cf admet donc une asymptote verticale d'équation x = 1.
4) a/ [pic]f(x) = [pic][pic] =[pic][pic]=[pic][pic]
Or, [pic][pic]=[pic][pic]= 0 et [pic]x = - [pic] d'où [pic]f(x) = -
[pic].
De manière analogue, [pic]f(x) = + [pic].
b/ f(x) = x + - donc [pic][f(x) - x] =[pic][ - ] [pic][pic][f(x) -
x] = 0.
De manière analogue, [pic][f(x) - x] = 0.
Cf admet donc une asymptote oblique ( d'équation y = x en -[pic] et en
+[pic].
|x |- [pic] - 9 - 1|
| |1 + [pic] |
|x + 9 | - 0 + |
| |+ + |
|x² - 1| + + 0 |
| |- 0 + |
|f(x) -| - 0 + || |
|x |- || + |
c/ f(x) - x = - = [pic].
Le tableau de signes donne :
Sur ] - [pic] ; - 9[ [pic]] - 1 ; 1[ : f(x) - x < 0 [pic] f(x) < x
Cf est en dessous de[pic].
Sur ] - 9 ; - 1[ [pic]] 1 ; + [pic][ : f(x) - x > 0 [pic] f(x) > x
Cf est au-dessus de[pic].
Cf coupe[pic] en x = - 9. 5) a/ f est une fonction rationnelle (ou quotient de deux fonctions
polynômes) dérivable sur son ensemble de définition. f est du type
[pic] avec u(x) = x3 + 9 et v(x) = x² - 1.
Or, f ' = [pic] sachant que u'(x) = 3x² et
v'(x) = 2x
D'où, f '(x) = [pic]=[pic]=[pic]=[pic]
f '(x) = avec P(x) = x4 - 3x² - 18x. b/ P(3) = 34 - 3(3)² - 18(3) = 0 donc 3 est une racine de P.
Alors le polynôme P est factorisable par (x - 3).
P(x) = x4 - 3x² - 18x = x(x3 - 3x - 18) = x(x - 3)(ax² + bx + c) où a, b
et c sont des coefficients entiers à déterminer. Or,(x - 3)(ax² + bx + c)
= ax3 + bx² + cx - 3ax² - 3bx - 3c = ax3 + (b - 3a)x² + (c - 3b)x - 3c
Par identification, on a [pic] [pic] [pic] Alors, P(x) = x(x - 3)(x² +
3x + 6). c/ On a donc f '(x) = [pic].
Le discriminant du trinôme x² + 3x + 6 vaut [pic]= 3² - 4(1)(6) = - 15.
[pic] < 0 donc x² + 3x + 6 > 0 sur IR.
On a donc le tableau de signes suivant :
|x |- [pic] - 1 0 |
| |1 3 + [pic] |
|x | - - 0 + |
| |+ + |
|x - 3 | - - - |
| |- 0 + |
|x² + 3x + | + + + |
|6 |+ + |
|(x² - 1)² | + 0 + + |
| |0 + + |
|f '(x) | + || + 0 - |
| ||| - 0 + |
|f | +[pic] - 9 |
| |+ [pic] + [pic] |
| | |
| | |
| |- [pic] - [pic] -|
| |[pic] [pic] | d/ Exercice 2 : On considère f(x) = . 1) La fonction f est définie lorsque 9x² - 30x + 24 ? 0.
Ce trinôme a pour discriminant [pic] = (-30)² - 4(9)(24) = 36. Comme
[pic]> 0, le trinôme admet deux racines distinctes : x1 = [pic]= 2 et x2
= [pic]= [pic].
Le trinôme est du signe de a = 9 à l'extérieur des racines.
Donc 9x² - 30x + 24 ? 0 [pic] x [pic] ] - [pic] ; [pic]] [pic] [ 2 ;
+[pic][ = Df.
2) a/ Le seul axe de symétrie ( possible pour la courbe Cf de f doit
« centrer » l'ensemble de définition, donc devrait avoir pour équation
x = [pic] [pic] x = [pic].
b/ [pic] est un axe de symétrie pour Cf si et seulement si pour tout
x[pic]Df, f([pic]+ x) = f([pic]- x).
Or, f([pic]+ x) =[pic]
et f([pic]- x) = [pic]
Puisque f([pic]+ x) = f([pic]- x), la courbe de f admet donc [pic] comme un
axe de symétrie.