6. Filtrage adaptatif - CREATIS - INSA Lyon

6. Filtrage adaptatif 6.1. Introduction Les filtres tels que nous les avons vus jusqu'à présent sont en général
utilisés dans des applications où on connaît la bande de fréquence utile
ainsi que la fréquence principale. Ces filtres servent à améliorer le
rapport signal sur bruit sous l'hypothèse où la bande de fréquence du bruit
est supérieure à celle du signal. Dans ce cas, un filtre passe-bande centré
sur la fréquence principale du signal permettra d'extraire le signal.
Les filtres de Wiener développés à partir de concepts temporels et non
fréquentiels sont conçus pour minimiser l'erreur quadratique moyenne entre
leur sortie et une sortie désirée. Ils sont dits optimum au sens du critère
de l'erreur quadratique moyenne et nous verrons que dans ce cas les
coefficients du filtres sont liés à la fonction d'autocorrélation du signal
d'entrée et à l'intercorrélation entre les signaux d'entrée et de sortie
désirée.
Quand les fonctions d'auto et d'intercorrélation ne sont pas connues
(cas le plus courrant), alors on va approcher le filtre optimal de Wiener
en utilisant une boucle de retour et un algorithme de minimisation : c'est
ce que l'on appelle le filtrage adaptatif. Dans ce cas, on remplacera la
connaissance des fonctions de corrélation par une phase d'apprentissage
permettant de modifier itérativement la réponse impulsionnelle du filtre.
6.2. Filtres de Wiener
6.2.1 Problème d'estimation linéaire La figure 5.1 illustre un problème courant d'estimation linéaire.
[pic]correspond au signal qui nous intéresse mais n'est pas directement
accessible. Seul [pic] l'est et [pic] est obtenu après passage de [pic]dans
un système linéaire suivi de l'addition d'un bruit. |[pic] | |
| |[pic] |
Figure 5.1 : Schéma général d'un problème d'estimation linéaire. Le problème qui se pose est comment retrouver [pic]à partir de [pic].
Une solution consiste à filtrer [pic] de tel sorte que la sortie [pic]soit
la plus proche possible de [pic]. On peut mesurer la qualité de
l'estimation par [pic] défini par : [pic] (Eq. 5.1) Evidemment, plus [pic] sera faible, plus l'estimation sera bonne. On
cherche donc un filtre qui minimisera l'erreur. Il est pratique de chercher
à minimiser [pic]car c'est une fonction quadratique facilement dérivable.
Par ailleurs, étant donné que les signaux intéressant sont aléatoires, la
fonction coût qui sera à minimiser est l'erreur quadratique moyenne
(MSE[1]) définie par : [pic] (Eq. 5.2) Le filtre optimal de Wiener correspond au filtre qui minimisera la MSE. 6.2.2 Filtre de Wiener de type FIR On se limitera ici au calcul des filtres FIR. Selon les mêmes
principes, on peut calculer des filtres IIR. C'est ce qui sera vu dans la
suite du cours avec les modèles ARMA utilisés en codage de parole.
Appelons H, le filtre que nous recherchons et N la longueur de sa
réponse impulsionnelle donnée avec une notation matricielle par : [pic] Le signal estimé[pic]peut alors s'écrire [pic] ou encore en introduisant la notation matricielle pour [pic] [pic] (Eq. 5.3) avec [pic] En faisant l'hypothèse que les signaux x(n) et y(n) sont stationnaires,
et si on introduit l'équation 5.3 dans l'équation 5.2, on arrive à la
fonction coût suivante : [pic]
[pic] (Eq. 5.4) où [pic]est une matrice d'autocorrélation de taille NxN définie par : [pic] (Eq. 5.5) et où [pic]est une vecteur d'intercorrélation de taille N défini par : [pic] (Eq. 5.6) L'équation 5.4 montre que pour un filtre FIR, la fonction coût MSE
dépend de la réponse impulsionnelle h. Pour en obtenir le minimum, il
suffit de chercher les conditions d'annulation de la dérivée de la fonction
coût par rapport au variables que sont les N points de la réponse
impulsionnelle du filtre.
La dérivée de la fonction coût par rapport au jème point de la réponse
impulsionnelle est donnée par : [pic] En substituant dans cette équation e(n) par les équations 5.1 et 5.3,
on obtient l'expression suivante : [pic] En utilisant le fait que la sortie du filtre [pic]peut s'écrire comme
une somme de N produits dont un seul contient le terme hj, on a arrive à
l'expression suivante : [pic] On cherche les conditions d'annulation de cette équation pour tous les
j={0, ..., N-1}. Ceci nous donne un ensemble de N équations qui peut être
écrit de façon matricielle en introduisant le vecteur gradient [pic]: [pic] En utilisant les équations 5.1 et 5.3 pour remplacer e(n) on obtient : [pic] qui devient en introduisant la matrice d'autocorrélation et le vecteur
d'intercorrélation : [pic] (Eq. 5.7) La réponse impulsionnelle optimale hopt est celle qui annule cette
équation d'où : [pic] (Eq. 5.8) Le filtre ainsi défini est appelé filtre FIR de Wiener. Il permet
d'obtenir une erreur quadratique minimale entre x(n) et son estimé [pic]
donnée par : [pic] (Eq. 5.9)
6.2.3 Application à l'égalisation de canal Un problème classique rencontré en traitement du signal pour les
télécoms est illustré sur la figure 5.2. Une séquence aléatoire de densité
de probabilité uniforme est appliqué à l'entrée d'un canal. Un bruit blanc
[pic]s'ajoute à la sortie du canal pour donner le signal observable y(n).
Le canal peut être modélisé par sa fonction de transfert en z, [pic].
Notre objectif est de construire un filtre avec une fonction de
transfert H(z) tel que sa sortie nous donne une bonne estimation de x(n).
Il est naturellement acceptable d'obtenir notre estimé avec un certain
retard d de telle sorte que ce que l'on estime correspond à x(n-d). Ce
problème est connu sous le nous d'égalisation de canal dans le domaine des
télécommunications ou encore sous le nom de déconvolution en traitement
d'images. Les filtres de Wiener nous apporte une solution à ce problème que
nous allons préciser. [pic]
Figure 5.2 : Schéma général d'un problème d'égalisation de canal. Pour simplifier, nous introduirons les trois notations suivantes x'(n),
e'(n) et y'(n) respectivement définies par : [pic] (Eq. 5.10) Le bruit additif et le signal sont considérés comme décorrélés entre
eux. Cette hypothèse est généralement vérifiée en pratique. Le filtre de
Wiener qui minimise la MSE est alors défini par :
[pic]
où [pic] et [pic] Etant donné que les processus sont considérés comme stationnaires et
ergodiques, la matrice d'autocorrélation [pic] peut être déduite de la
fonction d'autocorrélation [pic]donnée par : [pic] (Eq. 5.11) Comme y'(n) est une combinaison linéaire des échantillon de l'entrée x(n)
i.e. [pic] et que x(n) et [pic] sont décorrélés, il en découle que y'(n) et [pic]sont
décorrélés d'où : [pic]pour des processus à moyenne nulle. Par ailleurs, puisque [pic]est un bruit blanc, il a la propriété suivante : [pic] Et finalement, l'équation 5.11 prend la forme suivante : [pic] (Eq. 5.12)
[pic] Les transformées en Z des fonctions d'autocorrélation de deux signaux liés
par un système linéaire comme dans la figure ci-dessus sont reliées de la
façon suivante : [pic] En utilisant cette propriété pour le cas qui nous intéresse, on obtient la
relation suivante : [pic] Par transformée inverse, on obtient : [pic] (Eq. 5.13) Cette équation introduite dans 5.12 permet d'accéder à [pic].
Afin d'accéder au filtre de Wiener, il reste à calculer le vecteur
d'intercorrélation[pic]. Si le filtre de Wiener possède N coefficients, le
vecteur [pic] aura N éléments de la forme [pic], où [pic]. On peut noter
que le processus étant stationnaire : [pic] Par ailleurs, comme [pic] et [pic]sont décorrélés, on a : [pic]
[pic] Les transformées en Z des fonctions d'auto et d'intercorrélation de
trois signaux liés par deux système linéaire en parallèle comme sur la
figure ci-dessus sont reliées de la façon suivante : [pic] En utilisant cette propriété et l'analogie avec la Figure 5.2, on
obtient donc la relation suivante : [pic] d'où [pic] (Eq. 5.14) A partir des relations (5.14), (5.13) et (5.12) on peut calculer la
réponse impulsionnelle du filtre de Wiener comme nous allons le faire dans
l'exemple ci-après. 6.2.4 Exercice d'application Soit un canal de communication modélisable par la fonction de transfert
suivante :
[pic]
A son entrée, on a un signal aléatoire avec une densité de probabilité
uniforme, une moyenne nulle et une variance de 1. A la sortie du canal
s'ajoute un bruit blanc de moyenne nulle, de variance 0.1 et décorrélé du
signal d'entrée.
Donnez le filtre de Wiener de longueur 3 qui peut être mis en place avec un
retard de 1 pour égaliser ce canal. Quelle est la valeur minimale de la MSE
qui sera obtenue. Concluez quant à l'intérêt de ce filtre. (...) Réponses [pic] [pic] Le minimum de MSE est supérieur à la variance du bruit, le filtre n'est pas
utile ! Pour avoir un filtre de Wiener efficace, il faut en augmenter le
retard toléré et la longueur du filtre de Wiener.
6.3. Algorithmes pour le filtrage adaptatif
6.3.1. Introduction La mise en ?uvre d'un filtre (estimateur) optimal de Wiener demande la
connaissance des caractéristiques du signal, du bruit et de la fonction de
transfert du canal. Cela implique également que ces caractéristiques soient
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