a)

Série D - session 2011 : exercice 1 - corrigé (énoncé) 1.- Soit l'équation (E) : [pic].
(E ) admet une solution imaginaire pure [pic] où [pic] est un réel
si et seulement si l'équation [pic] admet une solution
z =[pic] est solution de (E ) ssi [pic]
donc ssi [pic].
Cette égalité est vraie ssi la partie réelle et la partie imaginaire
du premier membre sont nulles, donc ssi [pic].
La deuxième équation donne une racine double [pic]. Ce nombre est
aussi solution de la première équation donc la racine imaginaire
pure de (E ) est [pic].
2.- a) Soit [pic].
z = -2i est une racine de P(z), donc P(z) est factorisable par z+2i.
En d'autres termes, il existe des nombres a, b et c tels que [pic]
(1)
Déterminons les nombres a, b et c vérifiant l'égalité précédente.
En développant l'expression (1), on a [pic]
Par identification on a : a= 1 , b = 1-3i et c = -14 + 2i, et
[pic]
(E ) [pic]équivaut à [pic]
donc équivaut à (z+2i =0 ou[pic])
. z+2i= 0 [pic]z = -2i
. Pour [pic], [pic].
Soit [pic] une racine de[pic]. Posons [pic] , où x et y sont des
nombres réels.
[pic][pic]
Les équations (1) et (3) donnent, par addition membre à membre,
[pic] , et par soustraction membre à membre [pic]. D'où, x = 7 ou x
= -7 et y=1 ou y = -1.
D'après l'équation (2 ) x et y sont de signes contraires, donc,
[pic].
On a alors [pic]
Et [pic]
3.-a)
[pic]
b) [pic]. [pic]
Z est imaginaire pur et [pic] donc
[pic][pic].
Alors [pic]
c) [pic] donc le triangle ABC est triangle en A.
d) Soit D le point d'affixe zD
ABCD est un parallélogramme si et seulement si [pic], donc si et
seulement si -2i- zD = 3 + i +4-2i.
Ce qui donne zD= -7-i
4. -Soit S la transformation d'expression complexe [pic].
a) [pic]
donc S est une similitude plane directe de rapport [pic], et
d'angle [pic]
Son centre est A
b) S-1 est la similitude plane directe de centre A, de rapport
[pic] et d'angle [pic]
----------------------- [pic]