BTS2 - Corrigé du devoir du 3/12/2004 - muizon

BTS Groupement C - Corrigé de juin 2004 Exercice 1 (11 points) 1. a) Quel est, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules non-
conformes ?
Les boules non-conformes sont celles dont le diamètre d vérifie
d73,3.
Elles correspondent donc aux deux classes extrêmes de
l'échantillon, soit 4 boules au total.
L'échantillon contient 50 boules, donc le pourcentage de boules
non-conformes est ).
b) Calcul de la moyenne et de l'écart type de l'échantillon.
La calculatrice permet d'obtenir directement ces résultats :
[pic] [pic] [pic]
On obtient donc : ó72,96 )) ).
2. a) Préciser et justifier la loi de probabilité suivie par X
Un lot est assimilable à un tirage au hasard avec remise de 50
boules.
Chacun des 50 tirages est donc indépendant.
Pour chaque tirage, il y a 2 issues :
. la boule n'est pas conforme (probabilité p=0,12)
. la boule est conforme.
Donc la loi suivie par X est la loi binomiale de paramètres 50 et
0,12 : )).
b) On approche cette loi par une loi de Poisson.
) Quel est le paramètre de cette loi ?
Une loi binomiale B(n,p) a pour espérance np.
Donc la loi suivie par X a pour espérance 50×0,12=6.
Donc la loi de X peut être approchée par la loi de Poisson de
paramètre ?=6 : ).
) Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 5 boules non-
conformes ?
Si on utilise la loi P(6), on a :
p(X>5)=1-p(XÂ5)
;2) )+;3!) )+;4!) )+;5!) ))\s\up 4(-6)ó0,55)).
3. a) Calculer la probabilité que la boule soit conforme
La variable D , qui donne le diamètre d'une boule, suit la loi
normale N
Si on pose T=, alors on sait que la variable T suit la loi
normale centrée réduite N
Dans ces conditions, on a : p(72,7ÂDÂ73,3)=pÂTÂ)
Donc : p(72,7ÂDÂ73,3)=p(-1,5ÂTÂ1,5)
Donc : p(72,7ÂDÂ73,3)=2?(1,5)-1
Donc, par lecture de la table de ? : ).
b) Quelle valeur devrait prendre ? pour que la probabilité d'obtenir
une boule non conforme soit 0,1 ?
Cela équivaut à déterminer ? pour que l'on ait :
p(72,7ÂDÂ73,3)=0,9.
La variable D suit maintenant la loi N
En posant maintenant T=, les calculs donnent :
p(72,7ÂDÂ73,3)=0,9 ñ pÂTÂ)=0,9
p(72,7ÂDÂ73,3)=0,9 ñ 2?)-1=0,9
p(72,7ÂDÂ73,3)=0,9 ñ ?)=0,95
p(72,7ÂDÂ73,3)=0,9 ñ ó1,75
p(72,7ÂDÂ73,3)=0,9 ñ ).
4. Construction d'un test d'hypothèse unilatéral au risque de 5 %
L'hypothèse nulle est : m=73
L'hypothèse alternative est : m