Exercice I : Le hockey sur gazon 5 pts

Amérique du Nord 2009 Exercice I : LE HOCKEY SUR GAZON (5 points)
Correction © http://labolycee.org A - Première phase
1.1. Deuxième loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, la somme des
forces extérieures [pic] exercée sur un système de masse m est égale au
produit de la masse m par le vecteur accélération [pic] : [pic]
On étudie le mouvement du système {balle} dans le référentiel terrestre
supposé galiléen.
En négligeant les actions liées à l'air et le poids de la balle (énoncé)
devant la force [pic] exercée par la crosse, la deuxième loi de Newton
appliquée à la balle sur son trajet entre A et B s'écrit : [pic].
1.2. La trajectoire de la balle entre A et B, est une droite : le mouvement
est rectiligne.
La force [pic] est supposée constante (énoncé) donc le vecteur accélération
[pic] est aussi constant (m = Cte). Ainsi, sur le trajet entre A et B, la
balle est animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré. 2.1. Par définition du vecteur accélération : [pic] . Pour (t suffisamment « petit » : [pic].
Or la balle part du point A sans vitesse initiale (énoncé) donc il vient :
[pic] 2.2. [pic] = 127,27 = 1,3(102 m.s-2 valeur non arrondie stockée en
mémoire pour la suite
3. De la relation vectorielle [pic] il vient : F = m.a donc F = 0,160 (
127,27 = 20 N.
Le poids [pic] de l'objet a pour valeur : P = m.g = 0,160 ( 9,8 = 1,6 N. [pic] donc la valeur de la force F est environ 13 fois plus grande que
celle du poids de la balle. L'hypothèse qui néglige le poids devant la
force exercée par la crosse sur la balle n'est pas justifiée, il faudrait
[pic].
B - Deuxième phase
1. Trajectoire de la balle.
1.1. Le mouvement de la balle est maintenant étudié dans le référentiel
terrestre associé au repère (O,x,z) .
Coordonnées du vecteur [pic]
1.2. Coordonnées du vecteur position [pic] 1.3. Quel que soit le point G de la trajectoire, les coordonnées du vecteur
vitesse au point G sont : [pic]
La composante horizontale du vecteur vitesse, vx = vB.cos( , est une
constante qui ne dépend pas de la position du point G choisi.
Au sommet S de la trajectoire, le vecteur vitesse de la balle est
horizontal, donc vSz = 0.
La norme du vecteur vitesse au point S est alors : vS = [pic] vSx = vB.cos(
Ainsi : vS = vB.cos( = 14 ( cos(30) = 12 m.s-1.
1.4. Par définition du vecteur vitesse : [pic] ainsi : [pic]
Par intégration, et en tenant compte des conditions initiales x(0) = xB = 0
et z(0) = zB = h
[pic] finalement : [pic] 1.5. Équation de la trajectoire : on isole le temps « t » de la première
équation que l'on reporte dans l'expression de z :
t = [pic] donc z(x) = h + [pic]
finalement : z(x) = h + tan(.x [pic]
équation d'une parabole de la forme z(x) = a.x² + bx + c de concavité
tournée vers le bas car
a < 0.
2.1. Pour que le but soit marqué il faut pour x = d, que 0 [pic] z(d) [pic]
L.
2.2. Pour x = d = 15 m , z(d) = h + tan(.d [pic]
z(d)= 0,40 + tan(30°) ( 15 - [pic]= 1,6 m.
On a donc bien : 0 [pic] z(d) [pic] L = 2,14 m.
C - Étude énergétique
1. Énergie potentielle de pesanteur : Ep(z) = m.g.z
Énergie mécanique : EM = EC + EP = ½.m.v² + m.g.z
2. Au point B : EM(B) = ½.m.vB² + m.g.h = 0,5 ( 0,160 ( (14²) + 0,160 (
9,8 ( 0,40 = 16 J.
3.1. En négligeant les actions de l'air, l'énergie mécanique est constante
au cours du mouvement de la balle.
3.2. Ainsi : EM(B) = EM(S) = EM
EM = ½.m.vS² + m.g.zmax ( EM - ½.m.vS² = m.g.zmax ( [pic] = g.zmax
( [pic]
[pic]= 3,1 m. Calcul effectué avec la valeur non arrondie de Em du 2. ----------------------- [pic] [pic] [pic] ( h [pic] B A