Corrigé des exercices des chapitres 5 à 9

BIOSTATISTIQUE, 2e édition, volume 1
Bruno Scherrer CORRIGÉ DES EXERCICES DES CHAPITRES 5 à 9
Corrigé de l'exercice 5.1 Si l'échantillonnage s'effectue sans remise, le nombre d'échantillons
différents est donné par la formule 5.7 : n ! / [(n ( p) ! p !] avec n = 20
et p = 10 ( (11 ( 12 ( 13 ( 14 ( 15 ( 16 ( 17 ( 18 ( 19 ( 20) / (1 ( 2 ( 3
( 4 ( 5 ( 6 ( 7 ( 8 ( 9 (10) = 184 756. Si l'échantillonnage s'effectue avec remise, le nombre d'échantillons
différents est donné par la formule 5.8 : (n + p - 1) ! / [(n ( 1) ! p !]
avec n = 20 et p = 10 ( (20 ( 21 ( 22 ( 23 ( 24 ( 25 ( 26 ( 27 ( 28 ( 29) /
(1 ( 2 ( 3 ( 4 ( 5 ( 6 ( 7 ( 8 ( 9 (10) = 20 000 010.
Corrigé de l'exercice 5.3 Il s'agit d'estimer des probabilités (empiriques) à partir d'échantillon de
grande taille. La probabilité estimée qu'une personne âgée ait un effet
secondaire grave est égale à 35 / 680 = 0,05147 (5,15%). Cette probabilité
de survenue d'évènements intercurrents graves est souvent exprimée en
pourcentage est s'appelle aussi taux d'incidence. Le taux d'incidence pour
les personnes non âgée s'élève à : 100(75 - 35) / (12500 - 680) = 0,338%.
Corrigé de l'exercice 5.5 1) Quelle est la probabilité d'avoir un as ou une carte de niveau
inférieur ? Comme toutes les cartes ont un niveau égal ou inférieur à un
as la probabilité a priori est égale à 52 / 52 = 1. Il s'agit d'un
évènement certain. 2) Quelle est la probabilité d'obtenir un trèfle ou un roi ? 13 cartes sont
un trèfle aux quelles il faut ajouter les 3 rois qui ne sont pas un
trèfle. La probabilité a priori est égale à 16 / 52 = 0,3077.
3) Quelle est la probabilité que ce soit une figure de couleur rouge ? Il
existe 3 figures et deux séries de couleur rouge, soit 6 cartes
favorables sur 52 ( p = 6 / 52 = 0,1154. 4) Quelle est la probabilité que ce soit un roi de pique si l'on sait qu'il
s'agit d'une carte noire ? Il existe 26 cartes noires et 1 roi de pique.
La probabilité conditionnelle (roi de pique (carte noire) s'élève à 1 /
26 = 0,0385. 5) Si l'on tire au hasard deux cartes de ce jeu, quelle est la probabilité
que ce soit deux rois ? Au premier tirage la probabilité d'avoir un roi
s'élève à 4 / 52. Au deuxième tirage et à condition qu'un roi ait déjà
été tiré, il reste 3 rois et 51 cartes. La probabilité conditionnelle
s'élève à 3 / 51. Il s'agit d'appliquer le théorème 8 des probabilités
composées (formule 5.18) : P(E1E2) = P(E1)(P(E2 (E1) = (4/52) ( (3/51) =
0,00452. 6) Si l'on tire au hasard une carte de ce jeu, puis une seconde sans
remettre la première, quelle est la probabilité que la deuxième soit un
as si la première était un roi ? Le tirage d'un roi modifie la
probabilité de tirage d'un as au deuxième tirage car il reste 51 cartes
au lieu de 52 et 4 as puisqu'aucun n'a été retiré au premier tirage. La
probabilité conditionnelle est donc égale à 4 / 51 = 0,07843. 7) Si l'on tire au hasard une carte de ce jeu, puis une seconde sans
remettre la première, quelle est la probabilité que la deuxième soit un
as si la première l'était aussi ? Contrairement à la question, il ne
s'agit d'une probabilité composée mais d'une probabilité conditionnelle.
Au deuxième tirage, il reste dans le 51 cartes et 3 as. La probabilité
conditionnelle s'élève à : 3 / 51 = 0,0588. 8) Si l'on tire au hasard et successivement trois cartes et si l'on replace
les cartes dans le jeu après chaque tirage, quelle est la probabilité
d'obtenir 3 rois ? A chaque tirage la probabilité d'obtenir un roi est
égale à 4 / 52 = 0,0769. Comme les évènements sont indépendants c'est-à-
dire que la probabilité de tirage d'un roi à un tirage donné ne dépend
pas des résultats des tirages précédents le théorème 4 des probabilités
composées (formule 5.12) et la probabilité s'élève à (4(4(4)/(52(52(52)
= 0,000455. 9) Si l'on tire au hasard 4 cartes, quelle est la probabilité d'obtenir un
carré ? Imaginons que la première carte soit un as. La probabilité que
les 4 cartes soient un as est égale à : (4/52)((3/51)((2/50)((1/49) =
0,000003694. Comme il peut s'agir d'un carré as ou de n'importe quel
carré (13 carrés possibles) l'axiome des probabilités totales (formule
5.10) s'applique : 0,000003694(13 = 0,000048. On peut également
considérer que quelle que soit la première carte tirée, la seconde doit
être identique à la première. Il y a 3 chances sur 51 qu'un tel
évènement survienne. La probabilité que la troisième carte soit
identique aux 2 premières, s'élève à : (3/51)((2/50). Enfin la
probabilité que la quatrième soit identique au 3 premières est égale :
(3/51)((2/50)((1/49) = 0,000048. 10) Si l'on tire au hasard 4 cartes, quelle est la probabilité d'avoir un
carré d'as. La réponse à cette question a déjà été donnée à la question
précédente, elle est égale à : (4/52)((3/51)((2/50)((1/49) =
0,000003694.
Corrigé de l'exercice 6.1
1) Quelle est la distribution de probabilité du nombre de canards infestés.
L'estimation de la probabilité d'abattre un canard infesté est égale à
0,947. La distribution de probabilité suit une loi binomiale de
paramètres p = 0,947 et n = 7. Les valeurs de probabilité sont obtenues
à partir de la formule 6.7. On obtient pour X = 0 :
P(X = 0 (7, 0,947) = [pic]= 1,2(10-9
Les résultats suivants sont : P(X = 1) = 1,47(10-7, P(X = 2) = 7,9(10-6,
P(X = 3) = 0,0002, P(X = 4) = 0,0042, P(X = 5) = 0,0449, P(X = 6) =
0,2676 et P(X = 7) = 0,6830.
2) Quelle est la probabilité de n'avoir aucun canard infesté ? Il s'agit de
P(X = 0) à savoir 0,0000000012. 3) Quelle est la probabilité de n'avoir que des canards infestés ? Il
s'agit de P(X = 7) à savoir 0,6830. 4) Quelle est la probabilité d'avoir au moins un canard infesté ? Il s'agit
d'en avoir 1 ou 2 ou 3 ... ou 7. L'application de la formule 5.10
(probabilité totale) conduit à : P(X ( 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X =
3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1,47(10-7 + 7,9(10-6 +
0,0002 + 0,0042 + 0,0449 + 0,2676 + 0,6830 = 0,9999. 5) Quelle est la probabilité d'avoir plus de deux canards infesté ? Il
s'agit d'en avoir 3 ou 4 ou 5 ... ou 7. L'application de la formule 5.10
(probabilité totale) conduit à : P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X =
5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0,0002 + 0,0042 + 0,0449 + 0,2676 + 0,6830 =
0,9999. 6) Quelle est la probabilité d'avoir moins de quatre canards infestés ? Il
s'agit d'en avoir 0 ou 1 ou 2 ou 3. L'application de la formule 5.10
(probabilité totale) conduit à : P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =
2) + P(X = 3) = 1,2(10-9 + 1,47(10-7 + 7,9(10-6 + 0,0002 = 0,0002. 7) Quelle est la probabilité d'avoir au plus trois canard infesté ? Il
s'agit d'en avoir 0 ou 1 ou 2 ou 3. L'application de la formule 5.10
(probabilité totale) conduit à : P(X ( 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =
2) + P(X = 3) = 1,2(10-9 + 1,47(10-7 + 7,9(10-6 + 0,0002 = 0,0002. 8) Quelle est la probabilité d'avoir deux canards ou plus d'infestés ? :
P(X ( 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X =
7) = 7,9(10-6 + 0,0002 + 0,0042 + 0,0449 + 0,2676 + 0,6830 = 0,9999. 9) Quelle est la probabilité d'avoir sept canards ou moins d'infestés ? :
Il s'agit de l'évènement certain car toutes les possibilités sont
incluses P(X ( 7) = 1. 10) Quelle est l'espérance mathématique du nombre de canards infestés ? Il
s'agit de l'espérance d'une variable binomiale (formule 6.8) : E(X) =
n.p = 7(0,947 = 6,629. Même si les réalisations de la variable sont des
nombres entiers, l'espérance peut comporter des décimales. 11) Quelle est la variance du nombre de canards infestés ? La variance
(attendue et non observée) du nombre de canards infestés est donnée par
la formule 6.9 : Var(X) = n.p.q = 7(0,947((1-0,947) = 0,3513. 12) Quel est le coefficient d'asymétrie de la distribution de probabilité ?
Le coefficient est donné par la formule 6.10 : (0,053 - 0,947) /
((7(0,947(0,053) = - 1,5083. Il existe donc une asymétrie à droite de la
distribution. Corrigé de l'exercice 6.3
1) Dans l'optique de la vérification de la dose létale 50 (DL 50), quelle
est l'épreuve aléatoire ? L'épreuve ou expérience aléatoire consiste à
tirer un rat au hasard, à lui administrer une dose de 7 mg/kg et à
observer sa survie. 2) Quels sont les évènements possibles et d'intérêt pour l'estimation de la
DL 50 ? Il y a trois évènements possibles à savoir l'observation
d'aucune anomalie, l'observation d'anomalies non fatales probablement
liées au traitement comme des convulsions, et l'observation de la mort
de l'individu. Il existe deux évènements d'intérêt : la mort ou non de
l'individu. 3) Quelle est la probabilité a priori de survenue de l'évènement
d'intérêt ? Comme la DL50 correspond à la dose conduisant à la mort de
50% des individus, la probabilité a priori est égale à 0,5. Attention,
ce n'est pas parce qu'il y a deux évènements possibles (vivant ou mort)
que la probabilité s'élève à 0,5. Si l'on calculait la dose létale 25,
la probabilité serait alors de 0,25. 4) Combien d'épreuves aléatoires on été effectués ? 10 car il y a 10 rats. 5) À quelle loi de probabilité obéit le nombre de rats morts ? Comme les
épreuves sont aléatoires (rat tiré au hasard), identiques (tous les rats
reçoivent un dose de 7 mg/kg) et indépendantes (le mode opératoire et la
survie du ième rat ne dépendent ni des interventions effectuées sur les
rats précédents ni de leur survie), il s'agit d'une loi binomiale de
paramètres p = 0,5 et n = 10. S'il existait un phénomène de contagion,
ou si la dose administrée dépendait du résultat obtenu sur les rats
précédents (essais adaptatifs) la loi ne serait plus binomiale. 6) Quel