1ère S ? Correction d'exercices - Canalblog

1ère S - Correction d'exercices Enoncé
Soit ABC un triangle et I le barycentre des points pondérés
(A ; 1), (B ; 1) et (C ; 2)
1. Construire I en justifiant la construction.
2. On considère les vecteurs [pic]où M est un point quelconque du
plan.
a. Montrer que le vecteur [pic] est colinéaire au vecteur [pic].
b. Montrer que le vecteur [pic] est un vecteur non nul indépendant du
point M que l'on précisera.
c. En utilisant les résultats précédents, déterminer l'ensemble (E)
des points M du plan tels que :[pic].
d. Construire (E).
Correction
1. Construction de I.
Soit J le milieu de [AB], par associativité du barycentre, I est le
barycentre du système[pic] donc I est le milieu de [CJ].
2. a. D'après la propriété fondamentale, [pic]. On a donc [pic].
D'où [pic]et [pic] colinéaires.
b. [pic]
Donc [pic]est non nul et ne dépend pas du point M. 3. On cherche [pic]
[pic].
D'après une propriété du parallélogramme, [pic].
[pic]D'où [pic] Exercice P294 n° 26 a. [pic] donc D est le barycentre du système [pic].
Par associativité du barycentre, G est le barycentre de [pic] donc G
milieu de [CD] et G,C et D alignés.
b. On a [pic]donc [pic]
[pic] Or [pic] d'où [pic]. On a alors [pic] et [pic]d'où [pic], donc G, C
et D alignés. Exercice P294 n° 29 a. [pic].
I est le barycentre de[pic].
De même par le calcul on trouve que J est le barycentre de[pic] et K est
le barycentre de[pic]
Soit G le barycentre de[pic]. Par associativité G est le barycentre de
[pic]donc G est sur (KC). De même G est barycentre de [pic]donc G est sur
(JB) et G barycentre de [pic] donc G est sur (AI).
Conclusion : les droites (AI), (JB) et (KC) sont concourantes en G. Exercice P 294 n° 30 1. [pic]
Donc E est la barycentre du système [pic]
2. Soit I le milieu de [AC], par associativité du barycentre,
E est le barycentre du système [pic]donc du
système [pic]. E est sur la droite (IB) qui passe par
un sommet du triangle et coupe le coté opposé en son milieu ;
(IB) est donc une médiane du triangle ABC ; or ABC équilatéral
donc (IB) est aussi la médiatrice de [AC]. D'où E est sur la médiatrice
de [AC].
4. Calcul de BE
E est le barycentre du système [pic]. D'après la propriété fondamentale,
[pic] donc pour M=B, on a [pic]. Donc [pic]. (BI) étant aussi une hauteur
du triangle ABC, on sait que [pic]car ABC équilatéral de côté3.
Donc [pic] [pic] Exercice n°31
1. [pic]est l'isobarycentre de
ABDE.
Soit P le milieu de [AB] et Q
le milieu de [DE].
Par associativité, [pic]est
l'isobarycentre de Pet Q donc [pic]
[pic]est le milieu de [PQ]
De même [pic]est
l'isobarycentre de CFGH.
Soit L le milieu de [FG] et K
le milieu de [CH].
Par associativité, [pic]est
l'isobarycentre de Let K donc [pic]
[pic]est le milieu de [LK].
O est l'isobarycentre de ABCDEFGH donc de ABDECFGH. Par associativité du
barycentre, O est l'isobarycentre de [pic]donc O milieu de [[pic][pic]].
2. I , centre de ABCD donc isobarycentre de ABCD,
J centre de EFGH donc isobarycentre de EFGH.
O isobarycentre de ABCDEFGH . Par associativité, on a O barycentre de
[pic].
Donc O, I, J alignés et O milieu de [IJ].
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[pic]