Exercice III: Voyage interplanétaire (5points)

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EXERCICE III - VOYAGE INTERPLANÉTAIRE (5 points)
1. Différentes phases du voyage de la mission MSL :
Phase 1 : Lancement depuis la Terre en position T1, il faut échapper à
l'attraction de la Terre.
Phase 2 : Voyage sur l'orbite de Hohmann en utilisant l'attraction du
Soleil.
Phase 3 : Attraction par Mars et atterrissage


2. Demi-grand axe de l'orbite de Hohmann

AP = R1 + R2
AP = AO + OP = 2 a

donc 2 a = R1 + R2

a = [pic]
a = [pic] = 1,89×108 km








3.1. MSL parcourt la moitié de l'ellipse (chemin coloré sur la figure
précédente), alors la durée ?t de ce parcours est égale à la moitié de la
période T : ?t = T/2 ou T = 2?t.
D'après la troisième loi de Kepler [pic], ainsi [pic]
[pic]
[pic]
?t = [pic] = ?.[pic]

Homogénéité de cette expression par analyse dimensionnelle :

D'après les unités de la constante de gravitation universelle m3.kg-1.s-2,
on peut dire que
dim(G) = L3.M-1.T-2

dim(?t) = dim(?).dim(a3/2).dim(G-1/2).dim(M-1/2)
dim(?t) = 1 . L3/2 . L-3/2.M1/2.T.M-1/2
dim(?t) = T
?t est bien homogène à une durée.
3.2. ?t = ?.[pic]
?t = ? × (1,89×108×103)3/2 × (6,67×10-11)-1/2 × (1,99×1030)-1/2
?t = 2,24×107 s = 259 jours

Le robot a décollé le 26 novembre 2011 et a atterri le 6 août 2012,
26 au 30 /11 : 5 jours
Décembre : 31 jours
Janvier : 31 jours
Février : 29 jours (année bissextile)
Mars : 31 jours
Avril : 30 jours
Mai : 31 jours
Juin : 30 jours
Juillet : 31 jours
1 au 6 Août : 6 jours
TOTAL : 255 jours, soit 255×24×3600 = 2,20×107 s

Écart absolu : 3,73×105s = 104 h = 4,3 jours
Écart relatif : [pic] = 2 %
Cette durée est cohérente avec celle calculée.

Causes de l'écart : - on ne connaît pas les heures d'arrivée et de
décollage,
- la troisième loi de Kepler est valable pour un système
en orbite autour d'un seul astre attracteur. Or ici le robot Curiosity est
soumis à l'attraction gravitationnelle du Soleil, mais pas seulement
puisque Mars et la Terre l'attirent aussi.

Remarque : le calcul des jours n'a sans doute pas besoin d'être aussi
précis (qui se souvient que 2012 était bissextile ?).

4. Comme le mouvement de Mars est circulaire et uniforme :
Mars accomplit une orbite complète en 1,88 an 360° ( 1,88 an
= 686,2 jours
Mars a tourné d'un angle ? pendant la durée de la mission ?° ( ?t
= 255 jours

? = [pic] = 134°

? + ? = 180°
? = 180 - ?
? = 180 - 134 = 46°.


Si l'on fait le calcul avec ?t = 259 jours, on obtient ? = 44°.
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R1 distance Soleil-Terre

R2 distance Soleil-Mars