Exercice 3 : Quelques propriétés de la flûte de Pan (4 points)

EXERCICE III : Quelques propriétés de la flûte de Pan (4 points) -
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3.1.(0,25)Deux notes sont séparées d'une octave si le rapport de leur
fréquence est égal à 2.
La note do4 est à l'octave de la note do3 si [pic] soit f(do4) =
2.f(do3)
(0,25) f(do4) = 2 (
262 = 524 Hz
De même , la note mi4 est à l'octave de la note mi3 si : [pic] soit
f(mi4) = 2.f(mi3)
f(mi4) = 2 ( 328 =
656 Hz
3.2.a.(0,25)Un n?ud de vibration est un point de la colonne d'air pour
lequel l'air ne vibre pas.
(0,25) Un ventre de vibration est un point de la colonne d'air pour lequel
l'air vibre avec une amplitude maximale.
3.2.b.(0,25) On observe des n?uds et des ventres de vibration dans le cas
d'ondes stationnaires.
3.3.a. (0,25) ( = [pic] où c est la célérité des sons dans l'air
3.3.b. Deux n?uds (ou deux ventres) de vibration consécutifs sont séparés
d'une distance [pic].
D'autre part l'énoncé indique « qu'il y toujours un n?ud de vibration à une
extrémité fermée d'un tuyau et une ventre de vibration à une extrémité
ouverte ».
Ainsi pour un tuyau de longueur L fixée, en notant N un n?ud de vibration
et V un ventre de vibration, on peut avoir les cas suivants:









L = [pic] L = [pic]+[pic] L = 2
([pic]+[pic]
(0,5)En généralisant, la longueur L d'un tuyau de la flûte de Pan, accordé
sur le son de longueur d'onde ( est bien : L = n [pic]+ [pic] , n entier
positif ou nul.
3.3.c. (0,25) Le mode fondamental correspond à la plus petite valeur de n,
soit ici n = 0.
(0,25) On a alors : L = [pic] = [pic] (cas n°1 de la question
précédente).
3.3.d. (0,5) Avec les fréquences des notes données avec 3 chiffres
significatifs, c = 340 m.s-1 :
notes |do3 |mi3 |sol3 |do4 |mi4 | |Fréquence f0 en Hz |262 |328 |393 |524
|656 | |Longueur L = [pic] (cm) |32,4 |25,9 |21,6 |16,2 |13,0 | |
3.4. (0,25) Exprimons les fréquences fn des harmoniques :
L = n [pic]+ [pic] = n.( [pic]+[pic]) + [pic] = [pic] L est un
multiple impair de [pic].
Donc : ( = [pic]
Or f = [pic] il vient : fn = [pic]


En posant f0 = [pic] on obtient : fn = f0 . (2n+1)
Ainsi, les fréquences fn des harmoniques sont des multiples impairs de f0.
C'est la raison pour laquelle « on dit parfois que les seuls sons possibles
pour une flûte de Pan sont les
harmoniques impairs ».


3.5. (0,25)Le tuyau n°3 correspond à la note sol3 pour lequel f0 = 393 Hz.
Le spectre fréquentiel aurait donc l'allure suivante :






















3.6. (0,5) « La célérité du son dans l'air augmente (faiblement) avec la
température ».
On a : ( = [pic] donc f = [pic]
Et L = [pic] pour le fondamental . Or L est constante (on néglige la
dilation du tuyau) d'où ( est constante.
Donc si c augmente alors f augmente aussi.
Ainsi, les notes jouées seront légèrement plus aigües si la température
augmente.
-----------------------
L

N

V

[pic]

N

[pic]

N

L

N

V

[pic]

[pic]

N

[pic]

L

[pic]

N

V

Amplitude

fréquence
(Hz)

7.f0

5.f0

3.f0

0

f0

V

393 1,18(103 1,97(103 2,75(103