Première ES : Correction contrôle probabilités jeudi 5 juin 2008

Première S3 Correction du Contrôle sur les Suites Vendredi 11
décembre 2009 Tout résultat non justifié ne sera pas pris en compte.
Calculatrice autorisée Exercice 1 : (3 points) La suite arithmétique u est caractérisée par u3 = 9 et u8 = -21
1. Donner une expression de un en fonction de n.
u est une suite arithmétique. Par définition, un = u0 + nr. On sait que u3
= u0 + 3r = 9 et u8 = u0 + 8r = -21
u8 - u3 = -21 - 9 = -30 = 5r donc r = -6
u3 = 9 = u0 + 3*(-6) donc u0 = 9 + 18 = 27
Ainsi un = 27 - 6n
2. Déterminer le sens de variation de la suite u.
M1 : la raison de cette suite arithmétique est -6 < 0. La suite est donc
décroissante.
M2 : un+1 - un = 27 - 6(n+1) - 27 + 6n = 27 - 6n - 6 - 27 + 6n = -6 < 0
donc la suite u est décroissante.
3. Déterminer S = u0 + ... + u9
S est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique. S = (nb
termes) x
Nb termes = 9 - 0 + 1 = 10
1er terme = u0 = 27
Dernier terme = u9 = 27 - 6 * 9 = 27 - 63 = -27
S = 10 x = 0 Exercice 2 : (3 points) La suite géométrique u est caractérisée par u3 = 500 et u7 = 312500
1. Donner une expression de un en fonction de n.
u est une suite géométrique. Par définition, un = u0qn. On sait que u3 =
u0q3 = 500 et u7 = u0q7 = 312500
= = q4 = = 625 = 54 donc q = 5
u3 = u0q3 = u0 x 53 = 500 donc u0 = = 4
Donc un = 4 x 5n
2. Déterminer le sens de variation de la suite u.
M1 : La raison de cette suite géométrique est 5 > 1 donc la suite est
croissante.
M2 : = = 5 > 1 donc la suite est croissante.
3. Déterminer S = u2 + ... + u7
S est a somme des termes consécutifs d'une suite géométrique. S = 1er terme
x
1er terme = u2 = 4 x 5² = 100
Nb termes = 7 - 2 + 1 = 6
S = 100 x = 390600 Exercice 3 : (4 points)
1. Déterminer le sens de variations de la suite v définie pour n ? 1 par vn
=
= ;)) = x = < 1 car n > 1 donc n+n = 2n > n+1 donc < 1 donc v est
décroissante
2. Déterminer le sens de variations de la suite u définie pour tout n ? 1
par un = +
un+1 - un = + - - = - < 0 car n+2 > n donc u est une suite
décroissante.
Exercice 4 : (3 points) La location d'une machine coûte 60 E la 1ère journée. La 2ème journée de
location coûte 67 E et chaque journée supplémentaire 7 E de plus que la
précédente. Combien coûtera le 8ème jour de location ? le 15ème jour ?
Le prix de la location suit une suite arithmétique de premier terme 60 et
de raison 7, donc un = 60 + 7n.
Le 8ème jour correspond à u7 = 60 + 7 x 7 = 60 + 49 = 109. La location le
8ème jour coutera 109E.
Le 15ème jour correspond à u14 = 60 + 7 x 14 = 60 + 98 = 158. La location
le 15ème jour coutera 158E. Exercice 5 : (3 points) Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12%
de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 2000, il coûtait alors 150E.
Quel est son prix à la bourse aux livres de 2005 ? de 2010 ?
Le prix du livre suit une suite géométrique de premier terme 150 et de
raison 0.88 donc un = 150 x 0.88n
Le prix en 2005 correspond à u5 = 150 x 0.885 = 79. Le prix du libre en
2005 est de 79E
Le prix en 2010 correspond à u10 = 150 x 0.8810 = 41. Le prix du livre en
2010 est de 41E Exercice 6 : (9 points)
Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 =
1. Calculer les termes u1 et u2
u1 = = et u2 = =
2. La suite u est-elle arithmétique ? géométrique ?
u1 - u0 = et u2 - u1 = ? donc u n'est pas une suite arithmétique.
= et = ? donc la suite u n'est pas géométrique.
3. On admet que, pour tout n, un n'est pas nul. On pose vn =
a. Calculer v0, v1 et v2.
v0 = 2 ; v1 = 5 et v2 = 8
b. Calculer vn+1 en fonction de vn.
vn+1 = = )) = = + = + 3 = vn + 3
c. Quelle est la nature de la suite v ? Exprimer vn en fonction de n.
La suite v est une suite arithmétique de raison 3. vn = v0 + 3n = 2 + 3n
d. En déduire un en fonction de n.
un = =
e. Vérifier les résultats en calculant u0 , u1 et u2
u0 = = 1 ; u1 = = et u2 = = =
Exercice 7 : (7 points) Un chef d'entreprise paie 60 000 E par an pour l'entretien de ses machines.
Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une
société lui propose deux formules : Contrat A : Le contrat augmente de 5% par an. 1. Exprimer en fonction de n le montant un du contrat lors de la nième
année.
C'est une suite géométrique de 1er terme 60 000 et de raison 1.05
un = 60000 x 1.05n
2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.
La 10ème année correspond à u9 = 60000 x 1.059 = 93079
La 10ème année, le contrat coute 93079E
3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.
S = u0 + ... + u9 = 60000 x = 754673.
La somme payée au bout de 10 années est de 754673E Contrat B : Le contrat augmente de 3500 E par an. 4. Exprimer en fonction de n le montant vn du contrat lors de la nième
année.
C'est une suite arithmétique de 1er terme 60000 et de raison 3500
un = 60 000 + 3500n
5. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.
La 10ème année correspond à u9 = 60000 + 3500x9 = 91500
La 10ème année, le contrat coute 91500E
6. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.
T = u0 + ... + un = 10 x = 757500
La somme payé au bout de 10 années est de 757500E
7. Quel est le contrat le plus avantageux ?
T > S Le contrat A est donc le plus avantageux. Exercice 8 : (8 points)
u est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = un
+ n - 1
v est la suite définie pour tout entier n par vn = 4 un - 6n +15 1. Démontrer que v est une suite géométrique.
= = un + n - 1) - 6n - 6 + 15; 4un - 6n + 15)) = un - 2n + 5; 4un - 6n
+ 15)) = (4un - 6n + 15); 4un - 6n + 15)) =
La suite est donc géométrique de raison 2. Calculer v0, puis exprimer vn en fonction de n.
v0 = 4u0 - 6x0 + 15 = 4+15 = 19 et donc vn = 19 x ()n 3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a un = tn + wn avec
tn = * ( )n et wn = n -
vn = 4un - 6n + 15 ( un = vn + n - = x ()n + n - = tn + wn 4. Donner la nature des suites t et w.
t est une suite géométrique de raison et de premier terme
w est une suite arithmétique de raison et de premier terme 5. On pose Tn = t0 + ... + tn ; Wn = w0 + ... + wn et Un = u0 + ...
+ un a. Exprimer Tn en fonction de n (Simplifier au maximum l'expression)
Tn = x )n+1;1 - )) = x = x b. Exprimer Wn en fonction de n (Simplifier au maximum l'expression)
Wn = (n+1) x + + ;2)) = c. Exprimer Un en fonction de n
Un = Tn + Wn = x +