Agrégation Interne 2000

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Corrigé des Exercices de Diffraction, Thermodynamique

[pic]

Exo n°1 : Monochromateur à réseau (ENSAM 1977).
1.1. Etablissement de la formule générale des réseaux par réflexion : on
calcule la différence de marche entre les faisceaux incident & diffracté :
[pic].
D'après l'orientation positive choisie sur la figure : i > 0, i' < 0. Il y
aura interférence constructive (donc maximum de lumière) si on a : [pic], m
étant un entier relatif. On obtient :
[pic].
Le réseau étant éclairé en incidence normale, i' = 0, & la figure de
l'énoncé implique i < 0, d'où, avec m = - 2 : [pic]. La période b du réseau
& le nombre n de traits par millimètre sont reliés par la relation : [pic].
Alors : [pic].

[pic]
1.2.a. L'angle i étant inchangé, on a toujours [pic]. Formule fondamentale
des réseaux : [pic]. Or :
[pic]. Si la grandeur [pic] est exprimée en micromètres, dans la même unité
b = 2 & avec m = 2 & f = 103 mm, on a : [pic].
1.2.b. Alors : [pic], donc : [pic].
[pic]
1.3.a. Le rayon extrême correspond à [pic]. Or :
[pic], & on peut utiliser la formule approchée précédente : [pic]. Or :
[pic].
AN : [pic].
Remarque : [pic] & on peut négliger le phénomène de diffraction par la
fente Fo.
1.3.b. Le pouvoir séparateur théorique du réseau est donné (cf cours) par :
[pic], d'où on déduit que :





[pic], ce qui montre bien que ce sont les phénomènes de diffraction qui
limitent le pouvoir de résolution des appareils.

1.3.c. Si la fente source F1 a une largeur nulle, l'ouverture de Fo limite
le pouvoir de résolution de l'appareil suivant : [pic] d'après la question
1.3.a. Si maintenant c'est la fente Fo qui a une largeur nulle, l'ouverture
de la fente source F1 limitera elle aussi le pouvoir de résolution de
l'appareil, avec la même bande passante [pic] d'après l'énoncé. Si l'on
ajoute alors tous les effets limitant la résolution de l'appareil
(diffraction, largeur finie des deux fentes Fo & F1), la bande passante
totale du monochromateur vaut : [pic].

[pic]
Remarque : il résulte des calculs précédents que les deux fentes Fo & F1
agissent de façon indépendante. Si on suppose Fo fermée par exemple, le
pouvoir séparateur de l'instrument vaut alors [pic], où [pic] traduit
l'influence des phénomènes de diffraction & [pic]l'influence de la largeur
non nulle de la fente source F1. On introduit la « finesse » de la fente
source, soit [pic], & on représente la courbe donnant [pic] :
Si [pic](avec [pic]pour [pic]), la fente source est quasiment fermé & ne
contribue plus à élargir les images, de sorte que les performances de
l'appareil ne sont plus limitées que par la seule diffraction, & on
retrouve le pouvoir de résolution théorique de l'instrument d'optique
parfait, soit [pic] (sur la figure, m devient k).
Si [pic], la largeur importante de la fente source étale les images des
raies bien plus que la diffraction, qui devient alors négligeable. On
montre en cours qu'alors [pic], & l'appareil ne fonctionne pas au mieux de
ses possibilités.
Ainsi, avec la valeur de a proposée par l'énoncé : [pic]. Il faut donc
réaliser la condition [pic] pour exploiter au mieux l'appareil.
Signalons enfin que la courbe en trait plein ne prend en compte que l'effet
dominant, la courbe réelle étant en pointillé (& divise par 2 la valeur de
R pour F = Fm).

2.1. Les deux faces de la lame à faces parallèles sont limitées par des
dioptres plans pour lesquels on peut écrire : [pic] & r' = - r. Il en
résulte que [pic]. Donc si Io est l'intensité du rayon incident, le rayon
émergent a l'intensité : [pic]. Le pourcentage demandé vaut alors :
[pic].


[pic]
2.2. Troisième loi de Descartes : [pic]. ( étant petit, on a la loi limite
de Képler : [pic]. On calcule : [pic]au second ordre près en r, puis la
translation du rayon [pic], soit aussi :
[pic], & cette translation est appelée x1 par l'énoncé, d'où : [pic].
3.1. Equation d'équilibre du cadre du galvanomètre (donc en régime
permanent , alors seul joue le couple de rappel) : [pic], où C est la
constante de torsion du fil, & [pic]une constante de l'appareil homogène à
un flux magnétique. La sensibilité du galvanomètre est définie (d'après son
unité) par la relation : [pic], & on égale les deux valeurs de x obtenues
aux questions 1.2.b & 2.2, soit : [pic], & on dérive par rapport au
courant : [pic], & avec [pic] on obtient : [pic].

3.2. On a vu que [pic], avec [pic], donc : [pic].
AN : [pic]. Pour vérifier la validité des approximations faites : [pic],
soit : [pic].

Exo n°2 : Pompe à chaleur à fréon (ENSI P).
A. Questions générales :
1. Les processus 1-2 et 5-4 correspondant à des changements d'état sont
isobares et isothermes. Le détendeur est un système ouvert, on écrit le
Premier principe pour un système ouvert :
[pic]. On néglige la variation d'énergie cinétique, le système est
calorifugé et il n'y a pas de partie mobile, il reste dh = 0 donc le
processus 4-1 est isenthalpe.

2. Voir solution sur le diagramme page suivante.

3. Les lectures sur le diagramme conduisent au tableau de résultats suivant
(pressions en bars, températures en degrés Celsius, enthalpies massiques en
kJ/kg, entropies massiques en kJ.kg-1K-1) :

| |1 |2 |3 |4 |5 |
|T |16 |16 |65 |60 |60 |
|P |5 |5 |15 |15 |15 |
|h |96 |194 |213 |96 |209 |
|s |0,350 |0,684 |0,684 |0,339 |0,671 |


Titre : x1 = 0,314 = /10.
4. Compression 2-3 isentropique : [pic], soit : [pic]
[pic] valeur vraisemblable car la molécule de fréon comprend 5 atomes, donc
diminue.
Calcul des chaleurs latentes de vaporisation :
. Sur 5-4 : on a une condensation complète (sur 1 kg), isobare, donc :
[pic] ;
. Sur 1-2 : on a une vaporisation partielle portant sur une masse (1 - x1)
kg de liquide donc [pic], supérieur à [pic], cohérent car on sait que la
loi [pic] est décroissante.

B. Étude du compresseur :

5. En écrivant le Premier principe pour un système ouvert comme à la
première question, on obtient : [pic] d'après le diagramme. Un calcul en
gaz parfaits ne serait pas justifié, car on est très près de la courbe de
saturation, et de plus les isenthalpes sont fortement courbées dans le
domaine de la compression.

C. Étude du condenseur :

6. Tout le trajet 3-5-4 est isobare, [pic], donc on obtient : [pic].

D. Étude du détendeur :
7. Entropie du mélange liquide - vapeur : [pic], où To est la température
du point triple. Il en résulte que s = 0 si x = 0 et T = To, soit pour le
liquide saturant à la température du point triple. Sur le diagramme, on lit
que s = 0 pour to = - 42°C, soit To = 231 K. Au point 4, on a donc :
[pic]. Variation d'entropie massique sur (D) :
[pic], alors que le tableau donnerait s = 0,011 kJ.kg-1K-1 ; on n'est pas
très loin du point critique, l'hypothèse cl = cste n'est pas adaptée.

E. Étude de l'évaporateur :

8. 1-2 isobare, qp = h, donc : [pic].

F. Étude globale du cycle :

9. Intégration du Premier principe sur le cycle :
[pic], vérifié.

10. Définition de l'efficacité : [pic] comme il se doit. Pour améliorer
l'efficacité, il faut augmenter T2 (température de la source froide) pour
réduire w.
Chauffage électrique : si on dépense w, on récupère w à la source chaude.
Avec la pompe à chaleur, pour la même dépense d'énergie, on récupère e fois
plus.

Exo n°3 : Générateur d'ultrasons (Banque PT 1998).

1. Rayonnement d'un seul transducteur :
1.1. Calcul identique à la diffraction par une fente infiniment fine, mais
attention ! Ici, l'angle ( n'est pas petit ! La ddm entre l'onde issue du
point M & celle issue du point O est donnée par : [pic]. On en déduit :
[pic]. D'après l'énoncé, le principe d'Huyghens - Fresnel donne alors :
[pic].

1.2. Même si l'énoncé ne le dit pas clairement, on admettra que ces ondes
sont cohérentes, donc qu'on ajoute leurs amplitudes complexes, ce qui
donne :
[pic]. En comparant à la forme de l'énoncé, on en déduit : [pic] puisque le
terme [pic] est de module 1.

1.3. [pic], fonction impaire de (. Il en résulte que [pic], rapport de
fonctions impaires de (, est paire. On a : [pic]. Avec les valeurs
numériques, on obtient :
[pic]. [pic] s'annulerait si [pic], donc impossible, & [pic] ne s'annule
jamais. Comme [pic] varie entre 1 & - 1, [pic] varie entre [pic]. Comme
[pic], la courbe est très écrasée.

2. Rayonnement d'un réseau de 128 transducteurs alignés :
2.1. La ddm entre l'onde issue du n-ième transducteur & celle issue du
point O est donnée par : [pic]. On en déduit : [pic].

2.2. Chaque transducteur émet l'amplitude complexe [pic] de la partie
précédente, mais ces amplitudes sont maintenant déphasées (analogie :
diffraction par N fentes identiques infiniment fines). On choisit l'origine
des phases sur la transducteur n°0, donc [pic]. Les ondes étant cohérentes,
on a, en appelant ( le déphasage entre les ondes émises par deux
transducteurs consécutifs :
[pic] car pour sommer la série géométrique, il faut que le premier terme
soit égal à 1. Alors on a, en revenant à l'expression de l'onde émise par
un transducteur vue à la question précédente :
[pic]. En explicitant le déphasage, on obtient : [pic]. En module, on a :
[pic]. On a donc :
[pic]. Numériquement : [pic]. Autour de 0 : [pic], donc les arguments des
deux sinus figurant dans [pic]sont petits, & les sinus équivalents aux
arcs, donc : [pic] donnant le nombre total de transducteurs, de la même
façon qu'en diffraction on obtient le nombre total de fentes.

2.3. Le numérateur s'annule si [pic]. Les premières ann