Exercice I Ascenseur spatial (5 points)

BAC S 09/2013 EXERCICE I. L'ASCENSEUR SPATIAL (5 points) Document 1. Présentation de l'ascenseur spatial
|L'ascenseur spatial a été envisagé dans les années 1970 comme alternative |
|aux lanceurs classiques de satellites que sont les fusées et navettes |
|spatiales. |
|Dans certains ouvrages, l'ascenseur culminerait à l'altitude de 36 000 |
|kilomètres au-dessus du sol. Cette hauteur n'est pas due au hasard. En |
|effet, un satellite en orbite équatoriale à cette altitude apparait immobile|
|au-dessus d'un point de l'équateur : c'est un satellite géostationnaire. |
|La particularité de l'orbite géostationnaire suggère une façon de relier le |
|sol et l'espace : il suffit de laisser pendre un câble d'un satellite |
|géostationnaire. Ce dernier restera toujours à l'aplomb du même point de la |
|surface terrestre d'où l'on pourra construire une base de départ de cabines |
|qui escaladeront le câble, transportant des satellites directement jusqu'à |
|l'orbite géostationnaire en quelques jours, environ cinq selon certaines |
|hypothèses retenues. |
|Et inversement les satellites en fin de vie pourraient être redescendus par |
|l'ascenseur et récupérés sur Terre. Comment déployer le câble depuis |
|l'espace ? La réponse semble simple : il suffit de dérouler une bobine de |
|câbles préalablement mise en orbite géostationnaire. |
| |
|Mais il y a un problème. Sur la partie basse du câble l'attraction terrestre|
|dépasse la force centrifuge due à son mouvement de rotation autour de la |
|Terre. Conséquence : le câble est irrémédiablement tiré vers la Terre et ne |
|peut maintenir sa position initiale. Pour pallier ce problème, il suffit de |
|déployer le câble simultanément dans deux directions opposées, c'est-à-dire |
|vers la Terre et vers l'espace. |
|Dans ce cas, l'astuce consiste à ce que la partie supérieure du câble « |
|retienne » la partie inférieure. |
| |
|L'ascenseur spatial permettrait aussi d'utiliser l'énergie de rotation de la|
|Terre pour lancer des sondes depuis l'orbite géostationnaire vers des |
|orbites plus hautes. La vitesse orbitale tout en haut de l'ascenseur serait |
|si grande qu'un satellite qui y serait largué n'aurait pas besoin de moteur |
|pour échapper à l'attraction terrestre. Vénus, Mars, Jupiter et même la |
|sortie du système solaire seraient accessibles sans énergie supplémentaire |
|que celle requise pour atteindre l'orbite géostationnaire. |
|D'après "The orbital tower : a spacecraft launcher using the Earth's |
|rotational energy", article original de Jérôme PEARSON en 1975 et |
|http://blog.belial.fr/post/2010/04/18/Ascenseur-vers-l-espace, article de R.|
|LEHOUCQ |
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Document 2. Vitesse de libération et vitesse orbitale
Vitesse de libération VL : vitesse minimale à communiquer à un projectile
non motorisé dans le référentiel géocentrique (référentiel lié au solide
imaginaire contenant le centre de la Terre et 3 étoiles éloignées) pour
qu'il puisse s'échapper de l'attraction terrestre. Elle dépend de son
altitude initiale z.
Vitesse orbitale VO d'un point de l'ascenseur spatial : vitesse, par
rapport au référentiel géocentrique, qu'il possède sur son orbite dans une
direction perpendiculaire au fil de l'ascenseur.
[pic]
Graphe représentant la vitesse de libération VL et la vitesse orbitale VO
d'un point de l'ascenseur spatial
(en km.s-1) en fonction de l'altitude z.
1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire pour ce projet ?
1 À partir des documents et sans faire de calcul, définir un satellite
géostationnaire puis donner les valeurs de sa vitesse et de sa période
dans le référentiel terrestre et dans le référentiel géocentrique. 2 Dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, le satellite
géostationnaire a une trajectoire circulaire. À partir de la deuxième
loi de Kepler (ou des aires), montrer que le mouvement de ce satellite
est uniforme. 3 En faisant référence à la question précédente, donner la direction et le
sens du vecteur accélération du satellite géostationnaire dans le
référentiel géocentrique. Montrer que ces résultats sont en conformité
avec la deuxième loi de Newton. 4 Établir l'expression de la vitesse v du satellite géostationnaire dans le
référentiel géocentrique en fonction de sa période TGéo, du rayon de la
Terre RT (RT = 6,4 x 103 km) et de son altitude h puis calculer sa
valeur. 5 D'après le texte, que faut-il « rajouter » à un satellite géostationnaire
pour réaliser un ascenseur spatial ? Pour quelle raison est-il
essentiel de placer un satellite à 36 000 km ? 2 L'ascenseur spatial
1 Sans souci d'échelle, représenter sur un schéma : - la Terre de rayon équatorial RT = 6,4 x 103 km ; - le satellite géostationnaire en orbite à l'altitude h de « 36 000
km » ; - le câble reliant le satellite géostationnaire à la Terre ; - la cabine de l'ascenseur à une altitude h' = 20 000 km ; - le vecteur vitesse ascensionnelle [pic] de la cabine le long du fil
ainsi que son vecteur vitesse
orbitale [pic]. 2 Un point de l'ascenseur spatial situé à l'altitude z possède dans le
référentiel géocentrique la vitesse orbitale VO(z) =[pic]. Montrer que
cette expression est cohérente avec l'allure de la courbe de la vitesse
orbitale présentée dans le document 2. 3 En faisant référence au document 1, calculer la valeur de sa vitesse
moyenne ascensionnelle. 4 Comparer la vitesse moyenne ascensionnelle à la vitesse orbitale à
l'altitude h'. 5 « La vitesse tout en haut de l'ascenseur serait si grande qu'un satellite
qui y serait largué n'aurait pas besoin de moteur pour échapper à
l'attraction terrestre ».
1 Estimer l'altitude minimale de l'ascenseur spatial pour que le satellite
s'échappe de l'attraction terrestre.
2 Estimer l'énergie cinétique à communiquer à un satellite de masse m = 1,5
x 103 kg, en orbite géostationnaire, pour qu'il s'échappe de
l'attraction terrestre. Comment cette énergie peut-elle lui être
communiquée ? -----------------------
Dessin d'artiste représentant un ascenseur spatial Schéma de principe de
l'ascenseur spatial