exercice 3b - Dimension K

Exercice 3B.1 - Marseille 2000.
Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité
d'aire est le cm².
La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la
disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur.






ABC est un triangle tel que :
AC = 20 cm ; BC = 16 cm ; AB = 12 cm
F est un point du segment [BC]
La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
On a représenté sur la figure le segment [BE].

Première partie.
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

D'une part :
AC² = 20² = 400
D'autre part :
AB² + BC² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400

Puisque AC² = AB² + BC²
Alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC
est rectangle en B.

2. Calculer l'aire du triangle ABC.

Aire = (AB ( BC)/2 = 96 cm²

3. Démontrer, en s'aidant de la question 1. , que la droite (EF) est
parallèle à la droite (AB)

D'après la question 1., la droite (AB) est perpendiculaire à la
droite (BC) (car ABC est rectangle en B).
D'après l'énoncé, la droite (EF) est perpendiculaire à la droite
(BC).
Les droites (AB) et (EF) sont toutes les deux perpendiculaires à
(BC), donc elles sont parallèles.

Deuxième partie.
On se place dans le cas où CF = 4 cm.
1. Démontrer que EF = 3 cm.

Les droites (AE) et (BF) sont sécantes en C.
Puisque les droites (AB) et (EF) sont parallèles,
Alors d'après le théorème de Thalès :
= =
donc :
=
donc :
EF = 3 cm.

2. Calculer l'aire du triangle EBC.

[EF] est la hauteur du triangle EBC.
[BC] est la base.
Aire = (EF ( BC)/2 = 24 cm²

Troisième partie.
On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC],
distinct de B et de C.
On note CF = x, où x est tel que 0 < x < 16.
1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à ¾ x.

Les droites (AE) et (BF) sont sécantes en C.
Puisque les droites (AB) et (EF) sont parallèles,
Alors d'après le théorème de Thalès :
= =
donc : =
donc : EF = x = x

2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à 6x.

Aire = (EF ( BC)/2 = (16 ( x)/2 = 6x

3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est-
elle égale à 33 ?

6x = 33
x = 33 : 6
x = 5,5 cm

4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur
exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de l'aire du
triangle EBC ?


Aire (EAB) = Aire (ABC) - Aire (EBC)
= 96 - 6x


Aire (EAB) = 2 ( Aire (EBC)
96 - 6x = 12x
96 = 18x
x =
Exercice 3B.2 - Limoges 2000.
1. Résoudre le système :
[pic]


- On soustrait membre à membre les deux équations, on obtient :
-2y = -4,5
d'où
y = 2,25

- On « injecte » x dans la première équation, et on obtient :
x - 3 ( 2,25 = 0
x = 3 ( 2,25
x = 6,75

La solution de l'équation est (6,75 ; 2,25).


2. Dans le triangle ABC ci-dessous, on donne :
AB = 6cm ; BC = 9cm.




















M est le point de [AB] tel que AM = 2cm. La droite parallèle à (BC)
passant par M coupe [AC] en N.


a. Calculer MN.


Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A.
Puisque les droites (MN) et (BC) sont parallèles (d'après l'énoncé),
Alors d'après le théorème de Thalès :
= =


On connaît AM, AB, BC.
On cherche à déterminer MN.


Donc :
=
Donc MN = 3 cm.






b. Donner la valeur de [pic].
D'après la question précédente, on a :
= = =
Donc :
= =


On suppose que [NC] mesure 4,5 cm et l'on pose AN = y et AC = x.

a. Établir les égalités :
x - y = 4,5 et x - 3y = 0

Les points A, N et C sont alignés dans cet ordre.
Donc :
AC = AN + NC
x = y + 4,5
x - y = 4,5


D'après la question 2. b. on a :
=
=
3y = 1x
0 = x - 3y
x - 3y = 0


b. Calculer AN et AC, en utilisant éventuellement les questions 1. et
3.a.


On sait que les longueurs AN et AC doivent vérifier les deux
équations :
x - y = 4,5 et x - 3y = 0
(x représente AC et y représente AN)


x et y doivent donc vérifier le système du 1.


Donc, on doit avoir (puisqu'on connaît les solutions du système) :


x = AC = 6,75 cm


et


y = AN = 2,25 cm
Exercice 3B.3 - Lyon 2000.
L'unité est le centimètre. La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.
On ne demande pas de refaire cette figure.
Les points E, M, A, B sont alignés dans cet ordre.
Les points F, P, A et C sont alignés dans cet ordre.
Les droites (EF) et (MP) sont parallèles.
AM = 6 MP = 4,8 AP = 3,6
EF = 6 AC = 4,5 AB = 7,5

1. Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.

Dans le triangle AMP, on connaît les longueurs des 3 côtes, AM, MP et AP.
SI ce triangle était rectangle, il ne pourrait l'être qu'en P, car [AM]
est le côté le plus long.


D'une part :
AM² = 6²
= 36


D'autre part :
AP² + MP² = 4,8² + 3,6²
= 23,04 + 12,96
= 36

Puisque AM² = AP² + MP²
Alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP
est rectangle en P.


2. Calculer AE et en déduire la longueur ME (on justifiera les calculs).

Les droites (EM) et (FP) sont sécantes en A.
Puisque les droites (EF) et (MP) sont parallèles.
Alors d'après le théorème de Thalès :
= =


On connaît AM, MP, EF.
On cherche à déterminer AE.


Donc :
=
Donc AE = 7,5 cm.


Puisque les points A, M, E sont alignés dans cet ordre, on peut écrire :
AM + ME = AE
ME = AE - AM = 7,5 - 6 = 1,5 cm




Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles.

Les droites (BM) et (CP) sont sécantes en A.
Les points B, A, M et les points C, A, P sont alignés dans le même ordre.

D'une part :
= = 0,8

D'autre part :
= = 0,8

Puisque = ,
Alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les (MP) et (BC) sont
parallèles.


Démontrer que les angles CBA et AMPsont égaux.

Les angles CBA et AMP sont en position d'angles « alternes-internes ».
Puisque les droites (MP) et (BC) sont parallèles, alors ils sont égaux.

3B.4 - Marseille 2000.
La figure ci-contre est donnée à titre d'exemple pour préciser la
disposition des points.
Ce n'est pas une figure en vraie grandeur.
On donne :
- Les points K, O, L sont alignés ; O est entre K et L ; OK = 2 cm ; OL =
3,6 cm.
- Les points J, O, N sont alignés ; O est entre J et N ; OJ = 3 cm ; ON =
5,4 cm .
- Le triangle OKJ est rectangle en K.


1. Calculer l'angle OJK (on donnera l'arrondi au degrés prés).


Le triangle OJK est rectangle en K.


Si je considère l'angle OJK , dans ce triangle, je connais :
- Le côté opposé : OK = 2 cm.
- L'hypoténuse : OJ = 3 cm.


Donc :
sin OJK =
sin OJK =
sin OJK = ( 0,667


Donc (en utilisant la touche « sin-1 » de la machine) :


OJK ( 42°.
Démontrer que les droites (JK) et (LN) sont parallèles.


Les droites (JN) et (LK) sont sécantes en O.
Les points J, O, N et les points K, O, L sont alignés dans le même ordre.


D'une part : = = 1,8
D'autre part : = = 1,8


Puisque =


Alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (JK) et
(LN) sont parallèles.




2. Déduire de la question 2., sans effectuer de calculs, que les angles OJK
et ONL sont égaux.



Les angles OJK et ONL sont en position d'angles « alternes-internes ».
Puisque les droites (JK) et (LN) sont parallèles, alors ils sont égaux.

-----------------------


























3 cm

3,6 cm

5,4 cm

2 cm

O

N

L

J

K

A

M

B

P

F

E

C

C

B

A

N

M

A

F

C

E