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DS n°4 - 1èreS - 2h - 2012/2013 - Correction Exercice 1
1) x²+x-2 = (x-1)(x+2) (factorisation à l'aide de la racine évidente 1),
donc il y a deux valeurs interdites 1 et -2.
Donc [pic].
[pic]
1/2 est une valeur charnière, et x²+x-2 est du signe de a=1, donc positif
à l'extérieur des racines -2 et 1.
|x |-? -2 |
| |1/2 1 +?|
|-2x+1 |+ |+ |- |- |
|x²+x-2 |+ |- |- |+ |
|Q1(x) |+ |- |+ |- |
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
D'autre part : -2 [pic] x1 [pic] 1 [pic] x2.
|x |-? -2 x1 |
| |1 x2 +? |
|x²-x-1 |+ |+ |- |- |+ |
|x²+x-2 |+ |- |- |+ |+ |
|Q1(x) |+ |- |+ |- |+ |
Donc [pic]
Exercice 2 [pic]: R est le milieu de [AC].
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] Exercice 3
1) [pic] et [pic] ne sont pas colinéaires, donc forment une base du plan.
2) [pic].
[pic].
3) D'après la question précédente, on a : F(1 ; 2) et D(-1 ; 2).
De même : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(0 ; 2), E(2 ; 0), I(0 ; 1) et J(1 ; 1).
Exercice 4
A(8 ; 5), B(13 ; 8), C(21 ; 13), D(-1 ; -3) et E(7 ; 2).
1) On a : [pic](5 ; 3) et [pic](13 ; 8) et xy'-yx' = 5×8-3×13 = 1 ? 0.
Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points pas alignés.
2) [pic](5 ; 3) et [pic](8 ; 5) donc comme précédemment, les vecteurs ne
sont pas colinéaires.
3) [pic](8 ; 5) et [pic](8 ; 5) donc [pic] = [pic] et BCED est un
parallélogramme.
Exercice 5
1) ? = 144 donc x1 = 1 et x2 = -5et le trinôme p(x) est du signe de a =
-2, donc négatif, à l'extérieur des racines.
2) a= -2 [pic] 0 et -b/2a = -2 donc d'après le cours p est croissante sur
]-? ; -2] et décroissante sur [-2 ; +?[.
|x |-? -2|
| |+? |
| |18 |
|p(x) | |
3) a. f(x) est définie si et seulement si -2x²-8x+10 [pic] 0, donc d'après
la question 1), Df = [-5 ; 1].
b. f = [pic] et d'après le cours, les fonctions p et [pic] ont le même
sens de variation lorsque p(x) [pic] 0, donc :
|x |-5 -2|
| |1 |
| |3[pic] |
|f(x) | |
| |0 |
| |0 |
[pic]
a. D'après le 1), Dg = [pic]\{-5 ; 1}.
b. g = 1/p et d'après le cours, les fonctions p et 1/p ont des sens de
variation contraires sur les intervalles où p(x) ? 0, donc :
|x |-? -5 |
| |1 +? |
| | | | |
|g(x) | |[pic] | |
Exercice 6
Dh = [pic] (On étudie les racines ou on utilise la somme d'un terme
négatif et d'un terme strictement négatif qui est donc strictement
négative).
x [pic] x² est décroissante sur ]-? ; 0] et croissante sur [0 ; +?[ ;
comme -3 [pic] 0 alors x [pic] -3x² a un sens de variation contraire :
croissante sur ]-? ; 0] et décroissante sur [0 ; +?[ ;
et x [pic] -3x²-7 a le même sens de variation que x [pic] -3x² ;
[pic]
[pic]
décroissante sur [0 ; +?[.
Donc h est croissante sur ]-? ; 0] et décroissante sur [0 ; +?[.
Exercice 7
1) Voir figure :
2) [pic] = [pic]+[pic] or par hypothèse : [pic]
= [pic]+[pic] or [pic] = [pic]+[pic] et [pic] par hypothèse
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] = [pic]+[pic] or [pic] = [pic] car ABCD est un parallélogramme
[pic]
3) On remarque que [pic] donc les vecteurs sont colinéaires et les points
I, C, J sont alignés.
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