Corrigé

MathADoc Diplôme National du Brevet : Groupe Sud (Corrigé) 2003
(Aix-Marseille, Montpellier, Nice-Corse, Toulouse) Activités numériques : 12 points Exercice 1 :
A = ( ( 5 B = ( ;))
A = ))- )) B = (;) ))
A = )) - )) B = ;) ))
))) ))) Exercice 2 : 1. C = 9x² - 12x + 4 + 3x² + 9x - 2x - 6
C = 9x² + 3x² -12x + 7x + 4 - 6
C = 12x ² - 5x - 2 2. Factorisation : le facteur commun est (3x - 2)
C = (3x - 2) [(3x - 2) + (x + 3)]
C = (3x - 2) (3x - 2 + x + 3)
C = (3x - 2) (4x + 1) 3. (3x - 2) (4x + 1) = 0.
Un produit de facteurs est nul si (et seulement si) l'un au moins de
ses facteurs est nul.
3x - 2 = 0 ou 4x + 1 = 0
3x = 2 ou 4x = -1
x = )) ou x = - ))
Les solutions de l'équation sont - ))et )). Exercice 3 :
1.
|Nombre de tours effectués|310 |320 |330 |340 |350 |360 |
|Effectifs |4 |4 |5 |7 |3 |2 |
|Effectifs cumulés |4 |8 |13 |20 |23 |25 |
|croissants | | | | | | | 2. L'effectif total est de 25. La moitié est donc 12,5. Cette valeur de
l'effectif est atteinte et dépassée pour un nombre de tours de 320 qui
est alors la valeur médiane de cette série. D'autre part, les valeurs
de la série vont de 310 à 360 tours, ce qui représente une étendue de
50.
3. Moyenne de la série :
M = ))
M = ))
M = )) M= 332,8
La moyenne est de 333 tours (arrondie à l'unité).
Activités géométriques : 12 points Exercice 1 :
1. Calculer la longueur MN.
Dans le triangle MNF rectangle en F, on applique le théorème de
Pythagore :
MN² = FM² + FN²
MN² = 3² + 4²
MN² = 9 + 16
MN² = 25 d'où MN =
MN = 5 cm.
2. Le triangle FNM est rectangle en F, son aire se calcule donc par :
A = )) = ))= )) = 6
L'aire du triangle FNM est bien égale à 6 cm².
3. Calcul du volume de la pyramide (P) de sommet B et de base le triangle
FNM.
La hauteur de cette pyramide est la longueur BF.
La formule du volume d'une pyramide nous donne : V = ))*B*H
Ici, on a B = 6 cm² et H = 3 cm
D'où V = )) ( 6 ( 3 V= 6 .
La pyramide (P) de sommet B et de base le triangle FNM a donc un
volume de 6 cm3.
4. a. Le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide (P) au
parallélépipède rectangle possède 7 faces.
b. Son volume se calcule par différence du volume du parallélépipède
rectangle ABCDEFGH et du volume de la pyramide (P).
Volume de ABCDEFGH : V1 = FE ( FG ( FB V1 = 12 ( 9 ( 3
V1 =324 cm3
Volume du solide : V1-V = 324 - 6 = 318.
Le solide ABCDENMGH a un volume de 318 cm3.
Exercice 2 :
1. Dans le triangle AMN, le point B ( [AM] et le point C ( [AN], les
droites (AM) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
))= )) = )) Soit ))= ))= ))
Calcul de AM : ))= )) ( AM = )) ( AM = 3,6 cm.
Calcul de BC : ))= )) ( BC = )) ( BC = 3 cm.
2. Les droites (BR) et (CP) sont sécantes en A, les points B, A, R et C,
A, P sont alignés dans le même ordre.
D'une part, )) = )) = 2 ;
D'autre part )) = )) = 2 ;
donc )) = )).
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les
droites (BC) et (PR) sont parallèles.
Problème : 12 points 1. Calculons le prix payé par Pierre (7h30 de connections) : Formule A : 20 + 2 ( 7,5 = 20 + 15
= 35 E Formule B : 4 ( 7,5 = 30 E Calculons ensuite le prix payé par Annie (15 h de connections) : Formule A : 20 + 2 ( 15 = 20 + 30 = 50 E Formule B : 4 ( 15 = 60 E
D'après ces résultats, Pierre a intérêt à choisir la formule B, tandis
que Annie doit choisir la formule A.
2. Si PA et PB sont les prix à payer respectivement dans les formules A
et B, alors :
PA = 2x + 20 PB = 4x
3.Tracé des graphiques représentant les fonctions f et g : [pic] 4. a. D'après le graphique précédent, on voit que si Coralie a payé 26 E
avec la formule B, elle s'est donc connectée 6 h30 min. b. De même, si Pierre se connecte 14 h, il paiera 48 E avec la
formule A et 56 E avec la formule B.
5. Résolution de l'inéquation : 4x ( 2x + 20.
4x - 2x ( 20
2x ( 20
x ( ))
x ( 10
Cette inéquation permet de déterminer le nombre d'heures de connections
pour lequel le tarif B est plus avantageux que le tarif A.
Ici, l'on voit que le tarif B est plus avantageux en dessous de 10 h de
connections.