Exercices de mathématiques - Exo7

Exercices : Martine Quinio
Exo7
Probabilité conditionnelle
Exercice 1
Dans la salle des profs 60% sont des femmes; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux
porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu"un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme?
CorrectionH[005992]Exercice 2
Une fête réunit 35 hommes, 40 femmes, 25 enfants; sur une table, il y a 3 urnesH,F,Econtenant des boules
de couleurs dont respectivement 10%, 40%, 80% de boules noires. Un présentateur aux yeux bandés désigne
une personne au hasard et lui demande de tirer une boule dans l"urneHsi cette personne est un homme, dans
l"urneFsi cette personne est une femme, dans l"urneEsi cette personne est un enfant. La boule tirée est noire :
quelle est la probabilité pour que la boule ait été tirée par un homme? une femme? un enfant? Le présentateur
n"est pas plus magicien que vous et moi et pronostique le genre de la personne au hasard : que doit-il dire pour
avoir le moins de risque d"erreur?
CorrectionH[005993]Exercice 3
Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques effrayantes sur les risques de cancer, problèmes cardio-
vasculaires liés au tabac, décide d"arrêter de fumer; toujours d"après des statistiques, on estime les probabilités
suivantes : si cette personne n"a pas fumé un jourJn, alors la probabilité pour qu"elle ne fume pas le jour suivant
J
n+1est 0:3; mais si elle a fumé un jourJn, alors la probabilité pour qu"elle ne fume pas le jour suivantJn+1est
0:9; quelle est la probabilitéPn+1pour qu"elle fume le jourJn+1en fonction de la probabilitéPnpour qu"elle
fume le jourJn? Quelle est la limite dePn? Va-t-il finir par s"arrêter?
CorrectionH[005994]Exercice 4
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour toutn, on note :Enl"événement "le journ, le professeur
oublie ses clés»,Pn=P(En),Qn=P(E
n).
On suppose que :P1=aest donné et que si le journil oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la
probabilité
110
; si le journil n"oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité410
.
Montrer quePn+1=110
Pn+410
Qn. En déduire une relation entrePn+1etPn
Quelle est la probabilité de l"événement "le journ, le professeur oublie ses clés»?
CorrectionH[005995]Exercice 5
Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier
Walt Disney, une image par tablette. Ma fille veut avoir le héros Princecharmant : combien dois-je acheter de
barres pour que la probabilité d"avoir la figurine attendue dépasse 80%? Même question pour être sûr à 90%.
CorrectionH[005996]Exercice 6
En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l"aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un
médicament M présentant des effets secondaires :
Avec l"aspirine, 75% des patients sont soulagés.
Avec le médicament M, 90% des patients sont soulagés.
1
1.Quel est le taux global de personnes soulagées ?
2.
Quel est la probabilité pour un patient d"a voirpris de l"aspirine sachant qu"il est soulagé ?
CorrectionH[005997]Exercice 7
Dans une population 40% des individus ont les yeux bruns, 25% des individus ont les cheveux blonds, 15% des
individus ont les yeux bruns et les cheveux blonds.
On choisit un individu au hasard. Calculez :
1.
La probabilité de l"événement : si un indi vidua les yeux bruns d"a voirles che veuxblonds.
2.
La probabilité de l"événement : si un indi vidua les che veuxblonds d"a voirles yeux bruns.
3.
La probabilité de l"événement : si un indi vidua les che veuxblonds, de ne pas a voirles yeux bruns.
CorrectionH[005998]Exercice 8
Unconstructeuraéronautiqueéquipesesavionstrimoteursd"unmoteurcentraldetypeAetdedeuxmoteurs,un
par aile, de type B; chaque moteur tombe en panne indépendamment d"un autre, et on estime àpla probabilité
pour un moteur de type A de tomber en panne et àqla probabilité pour un moteur de type B de tomber en
panne.
Le trimoteur peut voler si le moteur centraloules deux moteurs d"ailes fonctionnent : quelle est la probabilité
pour l"avion de voler? Application numérique :p=0:001%,q=0:02%.
CorrectionH[005999]Exercice 9
On sait qu"à une date donnée, 3% d"une population est atteinte d"hépatite On dispose de tests de dépistage de
la maladie :
-
Si la personne est malade, alors le test est positif a vecune probabilité de 95%.
-
Si la personne est saine, alors le test est positif a vecune probabilité de 10%.
1.
Quelle est la probabilité pour une personne d"être malade si son test est positif ?
2.
Quelle est la probabilité pour une personne d"être saine si son test est positif ?
3.
Quelle est la probabilité pour une personne d"être malade si son test est nég atif?
4.
Quelle est la probabilité pour une personne d"être saine si son test est nég atif?
CorrectionH[006000]Exercice 10
Dans mon trousseau de clés il y a 8 clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé au
hasard; je fais ainsi des essais jusqu"à ce que je trouve la bonne; j"écarte au fur et à mesure les mauvaises clés.
Quelle est la probabilité pour que j"ouvre la porte :
1.
du premier coup ?
2.
au troisième essai ?
3.
au cinquième essai ?
4.
au huitième essai ?
CorrectionH[006001]Exercice 11
Six couples sont réunis dans une soirée de réveillon. Une fois les bises de bonne année échangées, on danse, de
façon conventionnelle : un homme avec une femme, mais pas forcément la sienne.
1.
Quelle est la probabilité P(A)pour que chacun des 6 hommes danse avec son épouse légitime?
2
2.Quelle est la probabilité P(B)pour que André danse avec son épouse?
3.
Quelle est la probabilité P(C)pour que André et René dansent avec leur épouse?
4.
Quelle est la probabilité P(D)pour que André ou René danse(nt) avec leur épouse?
CorrectionH[006002]Exercice 12
Dans l"ancienne formule du Loto il fallait choisir 6 numéros parmi 49.
1.
Combien y-a-t-il de grilles possibles ?En déduire la probabilité de g agneren jouant une grille.
2.
Quelle est la probabilité que la grille g agnantecomporte 2 nombres consécutifs ?
CorrectionH[006003]Exercice 13
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner
ou perdre sont les mêmes; puis, on suppose que :
-
Si une partie est g agnée,la probabilité de g agnerla sui vanteest 0 :6.
-
Si une partie est perdue, la probabilité de perdre la sui vanteest 0 :7.
SoitGnl"événement "Gagner la partien», etun=P(Gn). On notevn=P(Gn).