Mécanique du solide - Unisciel

Problème 1 : La mécanique de la marche (Mines-Ponts 1999)

Par un beau matin d"été, un physicien délaisse son laboratoire pour une randonnée pédestre à travers la
campagne. Après 10 km de marche sur un chemin horizontal, il s"assoit à l"ombre d"un arbre et soliloque : " Je
suis fatigué. Pourtant, je n"ai pas travaillé. Comment est-ce possible ? ».

1. Le physicien effectue une marche de
L kilomètres à vitesse constante sur une route horizontale (on prendra
29,8 m sg-= × pour le champ de pesanteur). On suppose que le centre de masse du promeneur conserve une
altitude constante pendant la marche et que le contact sol-promeneur se fait sans glissement. On modélise
l"homme comme un solide. Quel est le travail mécanique effectué par l"homme au cours de la marche ?

Le corps humain n"est pas un corps solide. Au cours de la marche, le centre de marche effectue des oscillations.
L"ordre de grandeur de l"amplitude de ces oscillations est
2 cma= pour chaque pas effectué. Quand le centre
de masse s"élève, l"énergie élastique musculaire est transformée en énergie potentielle. Quand le centre de masse
s"abaisse, l"énergie potentielle est convertie en énergie thermique (" chaleur »). La machine humaine n"est pas
réversible. Fixons les ordres de grandeur pour une marche de
10 kmL=, une longueur de pas 0,75 mp= et un
homme de masse
70 kgM=.

2.
Effectuer un schéma montrant la trajectoire du centre de marche en faisant apparaître les longueurs 2a et p.
3.
Montrer que cette marche est équivalente, pour le travail fourni, à l"escalade d"une montagne d"une hauteur
H telle que 2LH ap=. Application numérique.
4.
Calculer l"énergie mécanique fournie et comparer cette énergie à l"énergie de la ration alimentaire
quotidienne, de l"ordre de grandeur de
610 J, d"un homme sédentaire. Que peut-on en conclure ?

Pour marcher l"homme prend appui sur une jambe et laisse " penduler » l"autre jambe autour de l"articulation
fémorale. On modélise la jambe par une barre homogène, de masse
m, de longueur 1m=l, de moment
d"inertie autour de l"articulation
21
3J m=l.

5.
Quelle est la valeur de la période des petites oscillations ? En déduire la vitesse moyenne du marcheur en
km/h. Quelle conséquence peut-on en tirer ?
6.
Sachant que 21,6 m sLuneg-= ×, quelle serait la vitesse moyenne du même marcheur sur la Lune ?

Solution

1. On étudie le système {marcheur} dans le référentiel terrestre galiléen, assimilé à un solide.
Il subit : - son poids
P M g=ur ur qui ne travaille pas car le centre de masse du promeneur conserve une altitude
constante pendant la marche ;
- la réaction de contact du sol sur les pieds
Rur qui ne travaille pas car il n"y a pas glissement.
D"autre part, la marche s"effectue à vitesse constante, donc l"énergie cinétique
cE du marcheur est constante et
ne varie pas.
En notant
mW le travail mécanique effectué par l"homme au cours de la marche, le théorème de l"énergie
cinétique s"écrit
()()c mE W P W R WD= + +ur ur. Avec ()()0cE W P W RD= = =ur ur, on obtient 0mW= : le travail
mécanique effectué par l"homme (c"est celui des forces intérieures) au cours de la marche est nul.
2. Schéma :