Corrigé de l'exercice

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D"OPTIMISATIONEXERCICE I(Calcul différentiel)
1. Montrer que la fonctionf:R2!R2définie par
f(x,y) =(
y2x
six6=0
ysix=0
admet des dérivées partielles au point(0,0), mais n"est pas continue en(0,0).
2. SoitE, unR-espace vectoriel muni d"un produit scalaireh
,
i. Montrer la continuité,
puis la différentiabilité et calculer la différentielle de l"application " produit scalaire »
F:E2!Rdéfinie parF(x,y) =hx,yipour tous(x,y)2E2.
3. SoitA2 Mn,m(R), avec(n,m)2N2.
(a) Montrer que l"applicationJ:Rm!Rdéfinie parJ(X) =kAXk2, où la notationk
k
désigne la norme euclidienne deRn, est différentiable et calculer sa différentielle.
(b) Soitf2 C1(R). Montrer que l"applicationG:Rm!Rdéfinie parG(X) =f(J(X))
est différentiable et calculer sa différentielle.
Corrigé de l"exercice
1. On a pour toutt2R,f(t,0)f(0,0) =02t
=0, ce qui montre que limt!0f(t,0)f(0,0)t
=0,
doncfadmet une dérivée en(0,0)selon le vecteur(1,0), et que¶f¶x(0,0) =0. De même,f(0,t) =
tpour toutt2R, doncfest dérivable en(0,0)selon le vecteur(0,1)et¶f¶y(0,0) =1.
2. L"applicationFétant bilinéaire, sa continuité surE2est équivalente à sa continuité en(0,0). De
plus, d"après l"inégalité de Cauchy-Schwarz,jF(x,y)j  kxk
kykpour tous(x,y)2E2, où
kxk=phx,xi.
Étudions la différentiabilité deF. Fixons(x,y)2E2et(h,k)2E2. On a :
F(x+h,y+k) =F(x,y) +F(x,k) +F(h,y) +F(h,k),
donc siL(h,k) =F(x,k) +F(h,y), on a
kF(x+h,y+k)F(x,y)L(h,k)k=kF(h,k)k  khk
kkk=o(N(h,k)),
en prenant par exempleN(h,k) =maxfkhk,kkkg. De plus,Lest linéaire et continue car
jL(h,k)j  kxk
kkk+khk
kyk N(x,y)N(h,k)!
N(h,k)!00,
en vertu de l"inégalité de Cauchy-Schwarz. On en déduit simultanément queFest différentiable,
et quedF(x,y)(h,k) =L(h,k) =hx,ki+hy,hi.
3. (a) L"applicationX2Rn7! kXk2estC¥donc différentiable surRn, car polynômiale. L"ap-
plicationX7!AXest linéaire, donc différentiable. Par conséquent, l"applicationJest dif-
férentiable en tant que composée de fonctions qui le sont. De plus, pour toutX2Rm, on
a
J(X) =hAX,AXi=hA>AX,Xi,
avecA>A2 Sm(R). On en déduit que la différentielle deJenXest l"application linéaire
d
XJ:h2Rm7!2hA>AX,hi.
(b) Utilisons le théorème de composition des différentielles. On obtient
d
XG(h) =dJ(X)fdXJ(h) =2f0(J(X))A>Ah.
pour touth2Rm.
EXERCICE II(Calcul différentiel)
On considère la fonctionf:R2!Rdéfinie parf(x,y) =(
x3+y3x
2+y2si(x,y)6= (0,0)
0 sinon.
La fonctionfest-elle continue surR2? de classeC1surR2?
Corrigé de l"exercice
La fonctionfestC¥surR2nf(0,0)gen tant que produit, quotient ne s"annulant pas etc. de fonctions
qui le sont. Reste à étudier la régularité en(0,0). On a
8(x,y)2R2nf(0,0)g,jf(x,y)j jxj3x
2+jyj3y
2=jxj+jyj !(x,y)!(0,0)0.
festdonccontinueen(0,0).Enrevanche,fn"estpasC1encepointcarellen"estmêmepasdifférentiable
en(0,0). En effet, soitt6=0 et(x,y)6= (0,0). On a
f(tx,ty)f(0,0)t
=t3(x3+y3)t
3(x2+y2)!(x,y)!(0,0)x
3+y3x
2+y2.
Or, sifétait différentiable en(0,0), cette limite coïnciserait avecd(0,0)f(x,y)et serait en particulier
linéaire par rapport à(x,y)ce qui n"est pas le cas.
EXERCICE III(optimisation sans contrainte)
On considère la fonctionfdéfinie surR2par
f(x,y) =x4+y42(xy)2.
1. Montrer qu"il existe(a,b)2R2+(et les déterminer) tels que
f(x,y)ak(x,y)k2+b
pour tous(x,y)2R2, où la notationk
kdésigne la norme euclidienne deR2.
En déduire que le problème
inf(x,y)2R2f(x,y)(P)
possède au moins une solution.
2. La fonctionfest-elle convexe surR2?
3. Déterminer les points critiques def, et préciser leur nature (minimum local, maximum
local, point-selle, ...). Résoudre alors le problème(P).
Corrigé de l"exercice
1.fest polynômiale donc de classeC¥(R2). En utilisant le fait quexy 12
(x2+y2), on écrit
f(x,y)x4+y42x22y2+4xyx4+y24x24y2,
pour tout(x,y)2R2. En utilisant le fait que pour tout(X,#)2R2,X4+#42#X20, il vient
f(x,y)(2#4)x2+ (2#4)y22#4.
Choisissons par exemple#=3, on en déduit
f(x,y)2(x2+y2)162!k(x,y)k!+¥+¥,
ce qui prouve quefest coercive surR2qui est fermé et de dimension finie. D"après le théorème
du cours, le problème(P)admet au moins une solution.
2. Pour étudier la convexité def(qui est de classeC2surR2), calculons sa matrice hessienne en
tout point(x,y)deR2. On a Hessf(x,y) =43x21 1
1 3y21
.
Rappelons quefest convexe surR2si, et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie
positive en tout point. Or, on vérifie aisément que les valeurs propres de Hessf(0,0)sont 0 et
2. Par conséquent,fn"est pas convexe.
3. Les points critiques defsont donnés par les solutions derf(x,y) = (0,0), autrement dit, les
points critiques sont solutions du système :
x3(xy) =0
y
3+ (xy) =0,x3+y3=0
y
3+ (xy) =0,y=x
x
32x=0
On en déduit quefadmet trois points critiques :O(0,0),A(p2,p2)etB(p2,
p2).
fétant de classeC2, on va utiliser la caractérisation des points critiques à l"aide de la hessienne
calculée à la question précédente.
- Point A: Hessf(A) =20 4
4 20
donc la trace de Hessf(A)vaut 40 et son déterminant 384.
On en déduit que Hessf(A)possède deux valeurs propres strictement positives donc queA
est unminimiseur localpourf.
- Point B: Hessf(B) =Hessf(A), donc la même conclusion que pour le pointAs"impose.
- Point O: Hessf(O) =4 4
44
, donc la trace de Hessf(O)vaut8 et son déterminant
est nul. Il vient que ses valeurs propres sont 0 et8. On ne peut donc rien conclure dans ce
cas à l"aide de la matrice hessienne. En revanche, on peut donner un argument à la main : soit
x2Rtel quejxj0, doncfan"est jamais concave. De plus, det(hessfa(x,y)) =
l
1l2=4a2.Onendéduitquefaestconvexesi,etseulementsia2[2,2],strictementconvexe
si, et seulement sia2]2,2[et n"est ni convexe, ni concave sinon.
2. Souvenons-nous du cours sur l"optimisation de fonctions quadratiques :
- sia2]2,2[, hessfaest constante et appartient àS++n(R). Par conséquent,faest strictement
convexe et coercive (cf. cours) surR2qui est fermé et de dimension finie. Par conséquent, le
problème inf
R2faa une unique solution.
- sia2Rn[2,2], la matrice hessfaa une valeur propre strictement négativem, et il existe une
direction
~e2R2(vecteur propre associé àm) dans laquellef(t~e)! ¥quandt!+¥. Par
conséquent, le problème inf
R2fan"a pas de solution.
- Casa2 f2,2g. Dans ce cas, la matrice hessfaest semi-définie positive, mais pas définie
positive. D"après le cours, le problème inf
R2faa une solution si, et seulement si(2,2)>2
Im(hessfa). Or, puisquea=2,
hessfah1
h
2
=2h1+ah2
ah
1+2h2
=h12
a
+h2a
2
)Imhessfa=vect2
a
.
Par conséquent, sia=2,(2,2)>2Im(hessfa)et le problème infR2faa une infinité de
solutions. Sia=2,(2,2)>/2Im(hessfa)et le problème infR2fan"a pas de solution.
3. Déterminons les points critiques defa:
rfa(x,y) =0,2x+ay2
2y+ax2
=0,x
y
=22+a
1
1
.
D"après l"étude précédente, dans le cas considéré, le problème inf
R2faa une unique solution qui
est donc donnée parx=y=22+aet l"infimum vaut alors42+a
EXERCICE VII(Optimisation sans contrainte, quotient de Rayleigh)
SoitA2 S+n(R). On considère la fonctionf:Rnnf0Rng !Rdéfinie par
f(x) =hAx,xikxk2,
oùh
,
iest le produit scalaire euclidien deRnetk
kla norme induite.
1. Montrer quefestC¥sur son ensemble de définition.
2. Montrer que les problèmes d"optimisation
inf
x2Rnnf0Rngf(x)et sup
x2Rnnf0Rngf(x)
possèdent une solution.
3. Déterminer l"ensemble des points critiques de la fonctionf.
4. Résoudre les deux problèmes ci-dessus.
5. Démontrer que la matrice hessienne defen un point critiquex2Rnnf0Rngest
Hessf(x) =2kxk2(Af(x)In),
où I
ndésigne la matrice identité de taillen.
6. En déduire que tous les points critiques qui ne sont pas solution d"un des problèmes
ci-dessus sont des points-selles.
Corrigé de l"exercice
1.festC¥surRnnf0Rngen tant que quotient de fonctions polynômiales dont le dénominateur ne
s"annule qu"en 0
Rn.
2. Remarquons que, pour toutx2Rn,f(x) =hAxkxk,xkxkiet que l"applicationx2Rnnf0Rng 7!
xkxkest une surjection deRnnf0Rngdans la sphère unitéSn1=fy2Rnj kyk=1g. Il s"ensuit
que
inf
x2Rnnf0Rngf(x) =inf
y2Sn1hAy,yiet sup
x2Rnnf0Rngf(x) =sup
y2Sn1hAy,yi.
La fonctiony7! hAy,yiest continue surSn1qui est compact. Ces problèmes ont donc une
solution.
3. Pourx6=0Rn, on a :
rf(x) =0()2Axkxk22hAx,xixkxk4=0()Axf(x)x=0.
Or, d"après le théorème spectral, la matriceAest diagonalisable dans une base orthonormée de
vecteurs propres. On notes(A) =fl1,...,lngson spectre, avecl1


ln. Si l"équation
Ax=f(x)xpossède une solution, alors nécessairementxest un vecteur propre deA. Récipro-
quement, sixest un vecteur propre associé àl2s(A), alorsf(x) =let doncAxf(x)x=0.
On en déduit que l"ensemble des points critiques defest l"ensemble des vecteurs propresx2
R
nnf0RngdeA.
4. Puisque les deux problèmes ont une solution, on cherche les minimiseurs (resp. maximiseurs)
parmi les points critique. Sixlest un vecteur propre deAassocié à la valeur proprel, on vérifie
quef(xl) =l. Par conséquent, les minimiseurs defsont les vecteurs propres deRnnf0Rng
associés àl1et les maximiseurs defsont les vecteurs propres deRnnf0Rngassociés àln. De
plus,
min
x2Rnnf0Rngf(x) =l1et max
x2Rnnf0Rngf(x) =ln.
5.Question difficile.PuisquefestC2surRnnf0Rng, on va écrire un développement limité defà
l"ordre deux, et on identifiera la hessienne à l"aide du terme d"ordre 2. Soitv2Rnett2R. On
a :
f(x+tv) =hAx,xi+2thAx,vi+t2hAv,vikxk2
1+2tkxk2hx,vi+t2kxk2kvk2
=
hAx,xi+2thAx,vi+t2hAv,vikxk2
12thx,vikxk2t2kvk2kxk2+4t2hx,vi2kxk4+o(t2)
=f(x) +2thAx,vikxk2f(x)hx,vi
+t2
f(x)kxk2kvk2+4f(x)hx,vi2kxk44hAx,vihx,vikxk4+hAv,vi
+o(t2)
en utilisant que
11+u=1u+u2+o(u2). On retrouve l"expression de la différentielle defet on
en déduit que
hHessf(x)v,vi=2
f(x)kxk2kvk2+4f(x)hx,vi2kxk44hAx,vihx,vikxk4+hAv,vi
.
Or, en un point critiquexl(vecteur propre associé à la valeur proprel), on af(xl) =let par
conséquent,
hHessf(xl)v,vi=2
f(xl)kxlk2kvk2+hAv,vi
,
d"où l"expression de la hessienne annoncée.
6. Choisissonsxlde norme 1. Choisissonsv=xl0un autre vecteur propre deAde norme 1, associé
à la valeur proprel0. Alors,
hHessf(xl)v,vi=2l0l
.
Siln"est pasla pluspetiteou la plus grandevaleur propredeA, ilsuffit alorsde choisirl0valeur
propre strictement inférieure puis supérieure àl, et on montre que l"expression ci-dessus peut
être strictement négative ou positive selon le choix dev. On en déduit quexlest un point-selle.
EXERCICE VIII(extrema liés)
Déterminer les points les plus proches et les plus éloignés de l"origine (s"ils existent) de la
courbe d"équationx6+y6=1. On illustrera la réponse à l"aide d"un dessin.
Corrigé de l"exercice
On noteH=f(x,y)2R2jh(x,y) =0gavech(x,y) =x6+y61. Les points deHles plus proches et
éloignés de l"origine sont respectivement solutions des problèmes
inf
(x,y)2HJ(x,y)et sup
(x,y)2HJ(x,y), avecJ(x,y) =d((x,y),(0,0))2=x2+y2
L"ensembleHest compact (en effet, il est fermé en tant qu"image réciproque du ferméf1gpar la fonction
continue(x,y)7!x6+y6, borné car pour tout(x,y)2H,jxj 1 etjyj 1 et inclus dansR2de
dimension finie) etJest continue surR2car polynômiale. Par conséquent, les deux problèmes ci-dessus
admettent une solution.
Caractérisons-la en écrivant les conditions d"optimalité. On a :rh(x,y) =0,(x,y) = (0,0)/2H, donc
les contraintes sont qualifiées en tout point. Soit(x,y), une solution de l"un ou l"autre des problèmes
ci-dessus. D"après le théorème des extrema liés, il existel2Rtel querJ(x,y) =lrh(x,y), soit
8<
:2x=6lx5
2y=6ly5
x
6+y6=1,8
<
:x(13lx4) =0
y(13ly4) =0
x
6+y6=1,8
><
>
:(x,y) = (0,1),l=13
ou(x,y) = (1,0),l=13
ou(x,y) = (21/6,21/6)'(0.89,0.89),l=22/33
Or,J(0,1) =J(1,0) =1 etJ((21/6,21/6)) =2.21/3'1.59. Par conséquent, le problème infHJ
a pour solutions(0,1)et(1,0)et l"infimum vaut 1, tandis que le problème supHJa pour solutions
(21/6,21/6)et l"infimum vaut 2.21/3.EXERCICE IX(problèmes d"optimisation avec contraintes, théorème de Kuhn-Tucker)
Une entreprise fabrique deux modèles de petites voitures, les modèlesXetY. Le modèleX, le
plus abordable, se vend à 1epièce. Quant au modèleY, beaucoup plus sophistiqué, il se vend
à 3e. Le coût de fabrication, exprimé ene, est donné par la fonction suivante :
C(x,y) =5x2+5y22xy2x1000.
oùxest le nombre de petites voitures du modèleXetyest le nombre de petites voitures du
modèleY. On suppose que les jouets fabriqués sont tous écoulés sur le marché.
Dans tout l"exercice, on noteraC+= (R+)2.
1. Soit(x,y)2C+. Déterminer le profitP(x,y)réalisé par l"entreprise lorsqu"elle a vendu
xjouets de modèleXetyjouets de modèleY.
2. Étudier la convexité de la fonctionPsurC+.
3. La capacité de production de l"entreprise est au total de 20 jouets par jour. En supposant
que l"entreprise tourne à plein régime, trouver la répartition optimale entre les modèles
de typeXetYpermettant de maximiser le profit quotidien. Calculer dans ce cas le profit
réalisé.
Indication :dans cette question et la suivante, on ne tiendra pas compte des contraintes (pourtant
naturelles) "x0" et "y0". On expliquera pourquoi cela ne change en réalité rien.
4. Le conseil d"administration de l"entreprise s"interroge sur la pertinence de vouloir pro-
duire à pleine capacité. Il se demande s"il ne peut pas augmenter le profit en produisant
autrement. Pouvez-vous aider le conseil d"administration?
Corrigé de l"exercice
1. Le profit est la différence entre le gain et le coût de production, doncP(x,y) =x+3yC(x,y),
puis
P(x,y) =5x25y2+2xy+3x+3y+1000.
2.PétantC¥,onpeutétudiersaconvexitéàl"aidedesahessienne.OnahessP(x,y) =10 2
210
.
De plus, étant symétrique réelle, la matrice hessPest diagonalisable de valeurs propresl1etl2
telles quel1+l2=TrhessP=20 etl1l2=det(hessP) =96. On en déduit quel1etl2sont
strictement négative etPest donc concave sur 'R2.
3. La contrainte sur la capacité de production s"écritx+y=20. On est donc amené à résoudre le
problème d"optimisation sous contrainte sup
h(x,y)=0P(x,y)avech(x,y) =x+y20. PuisqueP
est quadratique et strictement concave,Pest coercive (cf. cours), et l"ensemblef(x,y)2R2j
h(x,y) =0gest un fermé de dimension finie (image réciproque def0gparhqui est continue).
Par conséquent, le problème précédent a une solution.
Étudions les conditions d"optimalité (qui sont donc des CNS). Puisque pour tous(x,y)2R2,
rh(x,y)6=0, les contraintes sont qualifiées en tout point. Le théorème des extrema liés fournit
alors l"existence del2Rtel querP(x,y) =lrh(x,y), soit
8<
:10x+2y+3=l
10y+2x+3=l
x+y=20()x=y=10
l=77
On obtient ainsi la répartition optimale de voituresXetYà produire et le profit réalisé vaut
P(10,10) =260.
Remarque: en théorie, il faudrait également ajouter les contraintesx>0 ety>0. Cependant,
puisqu"elles sont naturellement vérifiées à l"optimum, on constatea posterioriqu"il n"était pas
nécessaire de les inclure dans le calcul.
4. Leproblèmequel"onpeutrésoudreafindesatisfaireleconseild"administrationdevientsup
h(x,y)0P(x,y).
L"existence s"obtient par le même argument. Étudions les conditions d"optimalité. Le théorème
de Kuhn-Tucker fournit l"existence dem0 tel que
8>><
>
>:10x+2y+3=m
10y+2x+3=m
x+y20
m(x+y20) =0()8
<
:x=y=3m8
x10
m(x+y20) =0,(x,y) =(10,10),m=77
ou(x,y) =38
,38

,m=0
Or,P(10,10)=260