Corrige Mathematiques - 2007 - Amerique du Nord - warmaths

ACTIVITES NUMERIQUES
(12 points)

Exercice 1 :


1.
A =
2
7
- 15
7
¸ 54
A =
2
7
- 15
7 × 45
A =
2
7
- 3 × 4
7
A =
2
7
- 12
7
A = - 10
7


2.
B =
4 × 105 × 15 × 10-3
80 × 10
-1
B =
4 × 3 × 5 × 105 × 10-3
4 × 4 × 5 × 10
-1

B =
3 × 105-3+1
4

B =
3 × 103
4
B =
3000
4

B = 750 d"où la forme scientifique : B = 7,5 × 10
2

3. C =
75 + 427 - 548
C =
3 × 5² + 43 × 3² - 53 × 4²
C = 5
3 + 4 × 33 - 5 × 43
C = 5
3+ 123 - 203
C = - 3
3

4. D = (2 + 45)(2 - 45)
D = 2² - (4
5)²
D = 4 - 4²×5
D = 4 - 80
D = - 76 D est donc un entier relatif
Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord

Exercice 2 :


On considère l"expression E = (3x + 2)
2 - (3x + 2)(x + 7).

1.

Développons :
E = (3x + 2)
2 - (3x + 2)(x + 7)
E
= (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² - (3x² + 21x + 2x + 14)
E = 9x² + 12x + 4 - 3x² - 21x - 2x - 14
E = 6x² - 11x - 10

2.
Factorisons :
E = (3x + 2)
2 - (3x + 2)(x + 7)
E
= (3x + 2)[(3x + 2) - (x + 7)]
E = (3x + 2)[3x + 2 - x - 7]
E = (3x + 2)(2x - 5)

3.
Pour x =
1
2

E =
(((
)
)
)3 × 1
2
+ 2(((
)
)
)2 × 1
2 - 5
E =
(((
)
)
)
3
2
+ 42(1 - 5)
E =
7
2
× (- 4)
E = - 7 × 2
E = - 14

4. Résolvons : (3x + 2)(2x - 5) = 0
3x + 2 = 0 ou 2x - 5 = 0
3x = - 2 ou 2x = 5
x = -
2
3
ou x = 52
Les solutions sont -
2
3
et 52

Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord
Exercice 3 :


1.
Le confiseur accorde une remise de 20% sur les 120,40 € de la commande, donc le
montant de la remise est de :
20
100
× 120,40 =
24,08 €

Donc le montant de la facture est finalement : 120,40 - 24,08 =
96,32 €


2.
a) Les sachets sont identiques donc le nombre de sachets est un diviseur commun de
301 et 172. Si on veut le nombre maximal de sachets réalisables, il faut donc calculer le plus
grand diviseur commun de 301 et 172. On utilise pour cela l"algorithme d"Euclide.




Le dernier reste non nul est 43, donc c"est le PGCD de 301 et 172.
Le nombre maximal de sachets réalisables est 43.

b)
301
43
= 7 et 172
43 = 4
Donc il y a 7 caramels et 4 chocolats dans chaque sachet.




1 0 3 2 7 1
1
2 7 1 -
9 2 1
2 7 1 9 2 1
1
9 2 1 -
3 4
9 2 1 3 4
3
9 2 1 -
0 Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord

A
C
TIVITES GEOMETRIQUES
(12 points)

Exercice 1 :


1.
Le triangle ABM est inscrit dans un cercle de diamètre [AB].
Il est donc rectangle en M.
2.
Le triangle ABM est rectangle en M alors :
cos
ABM = BM
AB
cos
ABM = 4,8
6
cos
ABM = 0,8

ABM
» 37° au degré près. (à la calculatrice.)
3.
L"angle
ABM est l"angle inscrit interceptant le même arc cAMque l"angle AOM. D"après le
théorème de l"angle au centre, on en déduit que
AOM = 2 ABM.

AOM
» 2 × 37

AOM
» 74°

Exercice 2 :
1.
Le volume d"une pyramide est
V = 1
3
(aire de la base) × hauteur
Aire
A
de ABCD : ABCD est un rectangle
donc
A = 8 × 11 = 88 cm2
V1 = 1
3
×
A
× SA
V1 = 13
× 88 × 15
V1 = 440 cm3.
2.
[
SA] est la hauteur de la pyramide SABCD, donc le
triangle SAB est rectangle en A.
Appliquons le théorème de Pythagore.
SB
2 = SA2 + AB2
S
B
2 = 152 + 82
S
B
2 = 289
SB
= 17 cm.
3.
Les points S, E, A sont dans cet ordre sur la droite (SA) et les points S, F, B dans cet ordre
sur la droite (SB).
Par ailleurs :
SE
SA
= 12
15 = 45 et SF
SB = 13,6
17 = 136170 = 45, donc SE
SA = SF
SB.
Compte tenu de cette égalité et de la configuration citée précédemment, d"après la réciproque
du théorème de Thalès, on peut en déduire que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

A
B
M
O
C
6
4,8
S
B
C
A
D
E F
G H 15
8 11
12
13,6 Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord
4. a. Soit k le coefficient de cette réduction


k =
longueur de la petite pyramide
longueur correspondante de la grande pyramide

k =
SE
SA

k = 4
5
(d"après
3.)
b.
Dans une réduction les volumes sont multipliés par k
3 donc :
V
2 =
k
3 × V1
V2 = (((
)
)
)
4
5
3 × V1
V2 = 64
125
× V1

Exercice 3 :







T

2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
I
J
A
B
E
F
G
¾¾®AB
T2
T1
T3
100° Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord

P
R
OBLEME
(12 points)

PARTIE A


1.
En roulant à 100 km/h il faut :
250
100
= 2,5 heures soit 2 h 30.
7 h 25 + 2 h 30 = 9 h 55.
Le premier groupe arrivera à
9 h 55 au musée.

2.
Le second groupe a roulé pendant 9 h 30 - 8 h 00 = 1 h 30 = 1,5 h.
La vitesse moyenne du car est de
120
1,5
=
80 km/h.


PARTIE B


1.

Nombre d"heures effectuées par mois
20 heures 25 heures
S1 8 × 20 = 160 8 × 25 = 200 Somme d"argent perçue
par mois (en €)
S2 90 + 20 × 5 = 190 90 + 25 × 5 = 215

2.
Soit x le nombre d"heures effectuées par Armelle pendant un mois dans ce musée.
Somme d"argent S
1 : Armelle gagne 8 euros pour x heures travaillées soit s1(x) = 8x.
Som
me d"argent S
2 : Armelle gagne d"abord 90 euros puis 5 euros pour x heures soit

s2(x) = 90 + 5x.

3.

8x = 5x + 90.
8x - 5x = 90
3x = 90

x = 30
Cette équation correspond à s
1(x) = s2(x).
Ce
la revient à chercher le nombre d"heures que doit effectuer Armelle pour gagner la même
somme avec le mode de calcul S
1 ou S2.
Si
elle effectue 30 heures elle gagnera la même somme d"argent.

4.
Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord


5.
a.
trait pointillé. On retrouve bien le point d"intersection des 2 droites pour x = 30.

b. Graphiquement (petits points) on voit que pour x = 35, c"est le mode de calcul S1 qui
e
st le plus avantageux.
La somme d"argent perçue est
280 euros.

6.

Entre 0 et 30 heures par mois c"est le mode de calcul S
2 qui est le plus avantageux.
Pour
30 heures par mois, les deux donnent la même somme.
Entre 30 et 35 heures, c"est le mode de calcul S
1 qui est le plus avantageux.



S 1
S 2
10 15 20 25 30 35 40
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
0 5
20
Somme en euros


Nombre d"heures Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord
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