2. Exercices

Terminale C Exercices spécialité géométrie 1. Démonstrations 1
1-a : Toute similitude de rapport k (>0) est la composée d'une homothétie
de rapport k et d'une isométrie 1
1-b : Les isométries du plan sont les transformations [pic] ou [pic] 2
1-c : Caractérisation complexe d'une similitude 2
1-d : Propriétés des similitudes 2
1-e : Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit
l'identité, soit une symétrie axiale 3
1-f : Forme réduite d'une similitude directe 3
1-g : Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A', B' tels que
A[pic]B et A'[pic]B', il existe une unique similitude directe transformant
A en A' et B en B' ». 3
1. 1. Exercice 3
1. 2. Exercice 4
2. Exercices 6
2. 3. Similitude + ROC, La Réunion 2010 6
2. 4. Translation et rotation, France 2010 6
2. 5. Similitudes, Centres étrangers 2010 7
2. 6. Similitude, Asie 2010 7
2. 7. Similitude + ROC, Antilles 2010 8
2. 8. Similitude, Amérique du Sud 2009 8
2. 9. Similitude+Suite, Pondicherry 2009 9
2. 10. ROC + Similitude, Polynésie 2009 9
2. 11. Similitudes, N. Calédonie nov 2008 10
2. 12. Spirale+arith, Antilles sept 2008 11
2. 13. Spirale+arith, France et La Réunion sept 2008 11
2. 14. Similitude indirecte, La Réunion, juin 2008 12
2. 15. Similitude & suite, France, juin 2008 (c) 12
2. 16. Similitude, Centres étrangers, juin 2008 13
2. 17. Similitude+ROC, Pondicherry, avril 2008 (c) 14
2. 18. Similitude, Polynésie, sept 2007 16
2. 19. Similitude, Antilles, sept 2007 17
2. 20. Similitude, Am. du Sud, sept 2007 18
2. 21. Similitude directe et indirecte, France, juin 2007 18
2. 22. Similitudes directe et indirecte, La Réunion, juin 2007 19
2. 23. Similitudes directe et indirecte, C. étrangers, juin 2007 20
2. 24. Similitudes, Asie, juin 2007 21
2. 25. Similitudes, Antilles, juin 2007 21
2. 26. Similitude+Bézout, Am. du Nord, juin 2007 (c) 22
2. 27. Similitude indirecte, Pondicherry, avril 2007 23
2. 28. Nouvelle Calédonie, nov 2006 23
2. 29. Amérique du Nord, juin 2006 (c) 24
2. 30. Antilles, juin 2006 25
2. 31. La Réunion, juin 2006 26
2. 32. Sim. indirecte+lieu, Liban, juin 2006 (c) 26
2. 33. Spirale, Pondicherry, avril 2006 28
2. 34. Sim. indirecte, Nouvelle Calédonie, nov 2005 (c) 28
2. 35. Similitude+suite, Am. Sud, nov 2005 29
2. 36. QCM arith+géom, National, sept 2005 30
2. 37. Réflexion+Bézout, Pondicherry, avril 2005 (c) 31
2. 38. Divine proportion, Amérique du Nord, juin 2005 (c) 32
2. 39. Image d'une figure, Asie, juin 2005 33
2. 40. Tr. rectangles isocèles, National, juin 2005 34
2. 41. S. indirecte+bézout, Polynésie, nov 2004 (c) 35
2. 42. Tr. équilatéral+lieu de points, National, sept 2004 (c) 37
2. 43. QCM géo+arith, Antilles, sept 2004 39
2. 44. Spirale, Am. du Sud, nov 2004 (c) 40
2. 45. Similitude indirecte, Am. du Nord, mai 2004 41
2. 46. Rotation, Antilles 2004 41
2. 47. Rotation+carré, Liban, mai 2004 (c) 42
2. 48. Suite géométrique, Polynésie, juin 2004 43
2. 49. Rotations, homothéties, Am. du Sud, nov 2003 (c) 44
2. 50. Similitudes, Pondichéry, mai 2003 (c) 45
2. 51. Longueur de spirale, Am. du Nord, mai 2003 47
2. 52. Similitude, suites, Pondicherry 2009 47
2. 53. Similitude, suites, Bézout, La Réunion, juin 2003 (c) 48
2. 54. Similitude, Polynésie, juin 2003 49
2. 55. Carré et rotation, Antilles sept 2002 50
2. 56. Similitude, La Réunion, juin 2002 50
2. 57. Similitude & barycentre, Polynésie, sept 2001 51
2. 58. Symétries axiales, Liban, juin 2001 51
2. 59. Rotations, symétries, translations, Asie juin 2001 52
2. 60. Homothéties, Polynésie, sept 2000 52
2. 61. Rotation et similitude 53
2. 62. Rotation 53
2. 63. Théorème de Ptolémée 54
2. 64. Le théorème de Napoléon 3 55
2. 65. Triangles équilatéraux 55
2. 66. Similitude 56
2. 67. Similitude 56
2. 68. Similitude et barycentre 56
2. 69. Réflexion - Rotation 57
2. 70. Barycentres+similitude 57
2. 71. Ligne de niveau+similitude 58
2. 72. Similitude et Bézout 58
2. 73. Spirale 58
2. 74. Rotation et similitude 59
2. 75. Cercle et similitude 59
2. 76. Similitude indirecte (c) 60 1 Démonstrations
1 Toute similitude de rapport k (>0) est la composée d'une homothétie de
rapport k et d'une isométrie Soit s une similitude de rapport k positif et h une homothétie de rapport
[pic]. La composée [pic] est alors une similitude de rapport [pic], c'est
donc une isométrie f.
On a donc [pic] où l'homothétie [pic] a pour rapport k. 2 Les isométries du plan sont les transformations [pic] ou [pic] Il est immédiat de montrer que ces deux types de transformations sont des
isométries ; par exemple pour [pic] :
[pic] et [pic], soit [pic].
Il est plus délicat de montrer que toute isométrie est de cette forme :
soit f une isométrie du plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J) ; on
note (O', I', J') le repère image par f : ce repère est également
orthonormal d'après les propriétés des isométries (conservation des
longueurs et des angles, les isométries positives conservant le sens des
angles, les iso. négatives les renversant).
Prenons M(x ; y), on a [pic], M'(x' ; y') son image par f : [pic].
Calculons les produits scalaires :
[pic], [pic], de même [pic], [pic].
Mais comme les distances et les angles sont conservés, on a
[pic]
ainsi que [pic] d'où [pic] et [pic].
Passons maintenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les
affixes : [pic], [pic], [pic] et [pic].
* [pic] est normé donc [pic], [pic] réel quelconque.
* [pic] est normé et orthogonal à [pic] donc [pic] ou [pic].
* [pic] d'où les deux possibilités :
[pic]. 3 Caractérisation complexe d'une similitude Les deux résultats précédents donnent immédiatement que si s est une
similitude de rapport k > 0, elle est de la forme [pic]
ou de la forme [pic].
En fait [pic] est un complexe a quelconque de même que c, ce qui donne
[pic] ou [pic]. 4 Propriétés des similitudes * Les similitudes de la forme [pic] sont associées aux isométries
positives, elles conservent le sens des angles : prenons trois points M, N,
P et leurs images M', N', P' ;
on a alors [pic].
* Les similitudes de la forme [pic] sont associées aux isométries
négatives, elles renversent le sens des angles : prenons trois points M, N,
P et leurs images M', N', P' ;
[pic].
* Conservation du barycentre : soit G le barycentre de [pic], M' et N' les
images de M et N, alors [pic], [pic], [pic] ; montrons que G' est le
barycentre de [pic] :
[pic].
En fait cette propriété est suffisante puisque l'associativité du
barycentre fait que ceci sera valable pour un nombre quelconque de points.
Par ailleurs ceci permet de montrer d'autres propriétés simples comme la
conservation du parallélisme. 5 Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l'identité,
soit une symétrie axiale Si notre similitude s'écrit [pic], elle a soit un seul point fixe [pic],
soit une infinité lorsque a = 1 et b = 0 ; c'est donc l'identité si elle en
a plus que un.
Si elle s'écrit [pic] et qu'elle a comme points fixes u et v, on a :
[pic].
Cette dernière écriture est celle d'une réflexion d'axe (uv), ce que le
lecteur vérifiera aisément... 6 Forme réduite d'une similitude directe Une similitude directe s (avec a différent de 1, qui n'est donc pas une
translation) a un point fixe : [pic], seul point tel que [pic].
On a alors [pic].
s est donc la composée d'une homothétie de rapport k et d'une rotation
d'angle [pic], les deux de centre [pic].
Remarquez que si vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatif, il
suffit de rajouter [pic] à [pic] pour revenir à un rapport positif : [pic]. 7 Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A', B' tels que A[pic]B et
A'[pic]B', il existe une unique similitude directe transformant A en A' et
B en B' ». Avec tous les résultats précédents c'est un jeu d'enfant :
on a les affixes a, a', b et b'. Si on a une similitude directe, celle-ci
s'écrit [pic] ; il suffit donc de trouver [pic] et [pic]en fonction de a,
a', b et b'.
[pic] ;
c'est tout. 1 Exercice On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la
distance A0B0 soit égale à [pic]. On précise de plus que l'angle [pic] est
un angle droit direct.
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la
façon suivante :
- An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
- Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2,
B2, A3, B3.
2. a. Démonstration de cours. Démontrer qu'il existe une similitude directe
et une seule qui transforme A0 en A1 et B0 en B1.
b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis
vérifier que son centre est O. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si
les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. On désigne par [pic] le point d'intersection des droites (A0B4) et
(B0A4). Démontrer que le triangle A0B0 est isocèle en [pic].
c. Calculer la distance A0B4.
d. Démontrer que [pic].
e. En déduire l'aire du triangle [pic]. 2 Exercice On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la
distance A0B0 soit égale à [pic]. On précise de plus que l'angle [pic] est
un angle droit direct.
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la
façon suivante :
- An+1 est