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Agrégation Interne 2001
Exercices d'Optique
Corrigé

Exo n°1 : Bilentilles de Billet (ENSAM 1980).
1. L'objet est placé à une distance D = 2f de la lentille : il en résulte
qu'on est dans les conditions de la méthode de Silbermann, donc l'image est
aussi à cette distance de la lentille. Ceci peut se retrouver par
application de la formule de Descartes des lentilles minces. Théorème de
Thalès sur FC1C2 & FF1F2 : rapport ½ donc : [pic], & les images F1 & F2
sont à la distance D = 2D/2 de l'écran. On en déduit (cf figure page
suivante) : F'1F'2 = 3a (largeur du champ d'interférences). la différence
de marche est nulle en (F1, F2) ce qui traduit la condition de stigmatisme,
d'où (cf figure) :
[pic]. Si [pic] sur l'écran, alors [pic], d'où :[pic].

2. Par raison de symétrie, la frange centrale (en O, pour ( = 0) est
brillante donc le nombre de franges brillantes doit être impair. En
divisant la largeur du champ d'interférences par l'interfrange, on obtient
le nombre de franges brillantes en arrondissant à l'entier impair
inférieur, ce qui donne : [pic].

3. Le chemin optique L2 du rayon R2 n'est pas modifié, & en ce qui
concerne le rayon R1 on remplace l'air par le verre sur une épaisseur e,
donc : [pic]. Comme on a des lentilles, on travaille dans les conditions
de Gauss, & la lame à faces parallèles est attaquée en incidence quasi
-normale i = nr, & l'épaisseur de verre traversée vérifie : [pic]. Alors la
nouvelle ddm s'écrit :
[pic]. La nouvelle frange centrale est en x1 telle que [pic] & donc :
[pic], donc le système de franges s'est déplacé vers le haut. On a :
[pic].

4. Technique : l'ordre d'interférence. La ddm vaut [pic]. Sur la frontière
violette : [pic], nombre entier, donc on a une frange brillante. L'ordre
d'interférence p diminue si la longueur d'onde ( augmente, la première
cannelure est obtenue pour p = 17,5 & la huitième pour p = 10 ,5 (car p
varie de 1 entre deux cannelures consécutives) qui est visible alors que la
neuvième (pour p = 9,5) ne l'est pas, donc : [pic], soit :
[pic].
Tout ce domaine place la longueur d'onde (2 dans le rouge. La tolérance sur
sa valeur n'est absolument pas une incertitude due à une imprécision de
mesure mais est liée au caractère discontinu de la grandeur « nombre de
cannelures ». Ce phénomène est beaucoup plus fréquent en physique quantique
(penser aux inégalités de Heisenberg).

Exo n°2 : Etude d'un détecteur interférométrique.
1. Le contenu des deux cuves étant identique, la ddm ( = 0. Tout est dans
l'air, on a :
[pic]. Soit : [pic]. Avec la condition [pic], on peut faire le DL, ce qui
conduit à : [pic]. Si [pic], alors [pic] d'où :
[pic], à peine visible à l'oeil nu.

2. L1 est inchangé, & L2 varie de [pic] d'où [pic] & donc la nouvelle ddm
vaut : [pic]. Avant, la frange centrale (( = 0) correspond à xo = 0 ;
après, cette même frange centrale ((' = 0) vient en [pic]. La translation
vaut [pic] d'où :
[pic] car [pic].
AN : [pic]. Calcul d'erreurs :
En différenciant la relation [pic], il vient : [pic] d'où on déduit :
[pic] d'où l'encadrement : [pic].

3. Loi affine : [pic]. Or : [pic]. Dans l'expression de ( obtenue à la
question 2, il suffit de remplacer n2 par n(X) :
[pic].

4. La ddm totale vaut : [pic]. La frange centrale se décale de [pic] si
[pic], soit : [pic]. Or : [pic]. Comme [pic], il vient :
[pic]. Très sensible !

5. Interférences à deux ondes : formule générale [pic]. Les deux vibrations
qui interfèrent ayant même intensité, on a : [pic]. Or : [pic], d'où la
relation : [pic].

6. [pic].
Soit : [pic].
Avec [pic], on obtient : [pic], donc de la forme :
[pic], où [pic] correspond au déphasage au point M (xo), & où :
[pic]. On reconnaît une analogie avec une source monochromatique étendue,
le rôle de la source étant joué par la cathode du photomultiplicateur.
Calcul de la valeur moyenne :
[pic], d'où : [pic]. Alors : [pic].

[pic]
7. D'où les courbes.
[pic]


Si b = 3.i, [pic], & le PM ne détecte pas les franges. Si b = b' = 0,3.i,
[pic]. La courbe du courant [pic] est donc une sinusoïde d'amplitude 0,86 ;
Jmax = 1,86.JM, , Jmin = 0,14.JM & donc le PM détecte les franges (écart de
courant suffisant).

8. Alors, avec ( = 0, [pic]. On a vu à la question 3 que [pic]. On reporte
dans J :
[pic]. Comme X est petit, on fait un DL : [pic], avec [pic]. Comme [pic],
on obtient : [pic].

9. On a : [pic], légèrement inférieur à Xm.

Exo n°3 : Miroir de Lloyd.
1. Facteur de réflexion pour les amplitudes : [pic], [pic]. D'où la ddm :
[pic]. Soit S' le symétrique de S par rapport à OH (cf figure), alors :

[pic]. Les valeurs numériques montrent que b